[Scoi2015]小凸玩矩阵

Posted 2020-09-02 日拱一卒 功不唐捐

bzoj 4443: [Scoi2015]小凸玩矩阵

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4443

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Description

小凸和小方是好朋友，小方给小凸一个N*M（N<=M)的矩阵A,要求小秃从其中选出N个数，其中任意两个数字不能在同一行或同一列，现小凸想知道选出来的N个数中第K大的数字的最小值是多少。

 

 

Input

第一行给出三个整数N,M,K

接下来N行，每行M个数字，用来描述这个矩阵

 

 

Output

如题 

 

 

Sample Input

3 4 2 1 5 6 6 8 3 4 3 6 8 6 3

Sample Output

3

HINT

1<=K<=N<=M<=250,1<=矩阵元素<=10^9

二分+最大流

二分一个x，矩阵中的数i若<=x，就从数i的行向列连一条流量为1的边

源点向每一行连一条流量为1的边，列向汇点连一条流量为1的边

最后判断流量是否>=n-k+1，大于return true 否则return false

why?

因为第k大相当于第n-k+1小，我们把所有<=x的边加进去，若最大流>=n-k+1，说明x至少是第n-k+1小，还可能更大

若最大流<n-k+1，说明x不能是第k大，需要找一个更大的

可能会有一个问题：

加边的时候，判断数i<x就加，最后判断流量是否>=n-k 行吗？

不行，因为这里的第k大不是严格意义上的第k大，可能有大小相同的数，去掉=可能少加的不是1条边，是所有与x相等的边

刚开始的时候并不是在行、列之间加边，而是判断完后，把矩阵中的点加进去，在这个点和行、列间各连一条边，TLE

完全没有必要赛这个点进去，因为最后判断的是流量，流量相当于点的个数，至于经过哪个点无所谓，二分总会分到的

#include<cstdio> 
#include<cstring> 
#include<queue> 
#include<algorithm> 
using namespace std; 
int n,m,k,src,decc,l,r,tot=1,ans; 
int a[251][251],b[251000],front[63010],nextt[251000],to[251000],cap[251000],cnt[63010],lev[63010]; 
queue<int>q; 
void add(int u,int v,int w) 
{ 
    to[++tot]=v;cap[tot]=w;nextt[tot]=front[u];front[u]=tot; 
    to[++tot]=u;cap[tot]=0;nextt[tot]=front[v];front[v]=tot; 
} 
bool bfs() 
{ 
    for(int i=0;i<=n+m+1;i++) {cnt[i]=front[i];lev[i]=-1;} 
    while(!q.empty()) q.pop(); 
    q.push(src);lev[src]=0; 
    while(!q.empty()) 
    { 
        int now=q.front();q.pop(); 
        for(int i=front[now];i!=0;i=nextt[i]) 
        { 
            int t=to[i]; 
            if(cap[i]>0&&lev[t]==-1) 
            { 
                q.push(t); 
                lev[t]=lev[now]+1; 
                if(t==decc) return true; 
            } 
        } 
    } 
    return false; 
} 
int dinic(int now,int flow) 
{ 
    if(now==decc) return flow; 
    int delta,rest=0; 
    for(int & i=cnt[now];i!=0;i=nextt[i]) 
    { 
        int t=to[i]; 
        if(lev[t]==lev[now]+1&&cap[i]>0) 
        { 
            delta=dinic(t,min(cap[i],flow-rest)); 
            if(delta) 
            { 
                cap[i]-=delta;cap[i^1]+=delta; 
                rest+=delta;if(rest==flow) break; 
            } 
        } 
    } 
    if(rest!=delta) lev[now]=-1; 
    return rest; 
} 
bool check(int u) 
{ 
    int tmp=0;tot=1; 
    memset(front,0,sizeof(front)); 
    for(int i=1;i<=n;i++)  
    { 
        add(src,i,1); 
        for(int j=1;j<=m;j++)  
        { 
            if(a[i][j]>u) continue; 
            add(i,n+j,1); 
        }  
    } 
    for(int i=1;i<=m;i++) 
     add(n+i,decc,1); 
    while(bfs()) tmp+=dinic(src,63000); 
    if(tmp>=n-k+1) return true; 
    return false;  
} 
int main() 
{ 
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k); 
    for(int i=1;i<=n;i++) 
     for(int j=1;j<=m;j++) 
       { 
          scanf("%d",&a[i][j]); 
          b[(i-1)*m+j]=a[i][j]; 
       } 
    decc=n+m+1; 
    sort(b+1,b+n*m+1); 
    l=1,r=n*m; 
    while(l<=r) 
    { 
        int mid=l+r>>1; 
        if(check(b[mid])) { ans=b[mid];r=mid-1;} 
        else l=mid+1; 
    } 
    printf("%d",ans); 
}