POJ3613 Cow Relays 最短路+矩阵乘法

Posted 2020-09-01 WDZRMPCBIT

题意：求恰好经过K条边的最短路

题解：根据Floyd的性质，如果我拿一开始给出的两个边权矩阵（只经过一条边的最短路的邻接矩阵）跑Floyd，得到的一定是只经过两条边的最短路的邻接矩阵（普通的Floyd是用求出的最短路来更新最短路而非用初始矩阵），同理用两条边的邻接矩阵一定能得到四条边的，因此N条边的邻接矩阵一定能由N/2条边的邻接矩阵得到，而当N为奇数时，用N-1的和初始矩阵跑一边就好了。因此套用矩阵乘法和快速幂的思想，就能把复杂度压倒N^2logN。

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN=1000+2;
int N,M,K,S,T,a[MAXN][MAXN],b[MAXN][MAXN],t[MAXN][MAXN],m[MAXN];
bool flag;

void Matrix_Copy(int a[MAXN][MAXN],int b[MAXN][MAXN]){
    for(int i=1;i<=N;i++)
        for(int j=1;j<=N;j++)
            a[i][j]=b[i][j];
}

void Floyd(int a[MAXN][MAXN],int b[MAXN][MAXN],int c[MAXN][MAXN]){
    memset(t,0X3F,sizeof(t));
    for(int k=1;k<=N;k++)
        for(int i=1;i<=N;i++)
            for(int j=1;j<=N;j++)
                if(t[i][j]>b[i][k]+c[k][j]) t[i][j]=b[i][k]+c[k][j];
    Matrix_Copy(a,t);
}

void Quick_Floyd(int a[MAXN][MAXN],int y){
    if(y&1) Matrix_Copy(b,a),flag=1;

    while(y>>=1){
        Floyd(a,a,a);
        if(y&1)
            if(!flag) Matrix_Copy(b,a),flag=1;
            else Floyd(b,a,b);
    }
}

int main(){
    memset(a,0X3F,sizeof(a));

    scanf("%d %d %d %d",&K,&M,&S,&T);
    for(int i=1,u,v,w;i<=M;i++){
        scanf("%d %d %d",&w,&u,&v);
        if(!m[u]) m[u]=++N;
        if(!m[v]) m[v]=++N;
        if(a[m[u]][m[v]]>w) a[m[u]][m[v]]=a[m[v]][m[u]]=w;
    }

    Quick_Floyd(a,K);
    cout << b[m[S]][m[T]] << endl;

    return 0;
}

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