每日编程系列———最大奇约数

Posted 2020-09-01 做个匠人，修颗匠心

一、题目

小易是一个数论爱好者，并且对于一个数的奇数约数十分感兴趣。一天小易遇到这样一个问题： 定义函数f(x)为x最大的奇数约数，x为正整数。 例如:f(44) = 11.

现在给出一个N，需要求出 f(1) + f(2) + f(3).......f(N)
例如： N = 7 
f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7) = 1 + 1 + 3 + 1 + 5 + 3 + 7 = 21
小易计算这个问题遇到了困难，需要你来设计一个算法帮助他。 

输入描述:

输入一个整数N (1 ≤ N ≤ 1000000000)

输出描述:

输出一个整数，即为f(1) + f(2) + f(3).......f(N)

输入例子:

7

输出例子:

21
二、答案解析
刚读完题，小编马上就有了思路，还有点小得意，写完之后，然后进行了代码测试，谁曾想，算法因为时间复杂度太大，不能通过测试，当然是不合格喽。
以下是不合格的算法，思路很单纯，就是从1到n循环，每次循环求出当前数的最大奇约数，然后累加，这个算法在小编的电脑上（2016的13英寸MAC中配）输入了1，000，000，000，然后用了39657ms计算完毕，晕的一逼，算法写成这样也是没谁了

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正确的姿势是这样的：

首先，先讨论一下数的奇约数，奇数的最大奇约数就是本身，偶数要不断地除以2，直到除以2的结果是奇数，那么这个结果就是其最大奇约数
在看我们的题目要求，是求出从1到n之间（包括1和n）的每个数的最大奇约数，然后对它们求和。
1.当n是奇数时，那么在1到n之间共有(n+1)/2个奇数，根据等差数列求和的理论，sn=(首项+末项)*项数/2，这些奇数的和为(n+1)/2*(n+1)/2;
2.当n是偶数时，那么在1到n之间共有n/2个奇数,这些奇数的和为n/2*n/2,当然在Java中也可以表示为：(n+1)/2*(n+1)/2；
然后这些只是范围内所有奇数的最大奇约数之和，那么剩余的偶数的奇约数之和怎么求呢，是这样的：
我们可以让n除以2，然后求出1到n/2范围内的所有奇数的最大奇约数之和，与之前的求和进行累加，如此让n不断地除以2，直到等于0，那么这所有的累加就是要求的数。

算法的实现如下：