BZOJ1095ZJOI2007捉迷藏 [动态点分治]

Posted 2020-09-01 BearChild

捉迷藏

Time Limit: 40 Sec  Memory Limit: 256 MB
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Description

　　捉迷藏 Jiajia和Wind是一对恩爱的夫妻，并且他们有很多孩子。某天，Jiajia、Wind和孩子们决定在家里玩捉迷藏游戏。
　　他们的家很大且构造很奇特，由N个屋子和N-1条双向走廊组成，这N-1条走廊的分布使得任意两个屋子都互相可达。
　　游戏是这样进行的，孩子们负责躲藏，Jiajia负责找，而Wind负责操纵这N个屋子的灯。
　　在起初的时候，所有的灯都没有被打开。
　　每一次，孩子们只会躲藏在没有开灯的房间中，但是为了增加刺激性，孩子们会要求打开某个房间的电灯或者关闭某个房间的电灯。
　　为了评估某一次游戏的复杂性，Jiajia希望知道可能的最远的两个孩子的距离（即最远的两个关灯房间的距离）。
　　我们将以如下形式定义每一种操作：
　　C(hange) i 改变第i房间的照明状态，若原来打开，则关闭；若原来关闭，则打开。
　　G(ame) 开始一次游戏，查询最远的两个关灯房间的距离。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示房间的个数，房间将被编号为1,2,3…N的整数。
　　接下来N-1行每行两个整数a, b，表示房间a与房间b之间有一条走廊相连。
　　接下来一行包含一个整数Q，表示操作次数。
　　接着Q行，每行一个操作，如上文所示。

Output

　　对于每一个操作Game，输出一个非负整数，表示最远的两个关灯房间的距离。若只有一个房间是关着灯的，输出0；若所有房间的灯都开着，输出-1。

Sample Input

　　8
　　1 2
　　2 3
　　3 4
　　3 5
　　3 6
　　6 7
　　6 8
　　7
　　G
　　C 1
　　G
　　C 2
　　G
　　C 1
　　G

Sample Output

　　4
　　3
　　3
　　4

HINT

　　对于100%的数据， N ≤100000, M ≤500000。

Main idea

　　给定一棵树，有0点或者1点，每次查询最远的两个1点之间的距离，需要支持修改0和1。

Solution

　　我们先观察一下数据，由于n<=10^5，所以O(n^2)的做法不可行。我们先考虑如何静态查询，首先我们第一反应想到了树形DP，然后发现这种方法无法优化。考虑一下有什么方法是log级别的呢？我们想到了点分，静态点分的做法就是每次取出重心，然后查询最深的1点的深度即可，要如何优化呢？发现如果点分可以动态实现的话就可以AC了。那么现在确定了算法：动态点分治。
　　我们先从点分的角度来剖析一下，点分其实就相当于每次找到重心，处理和重心有关的路径，然后把重心割掉，将树分为多个小块，这样将所有路径上的信息存到了重心上，降低规模处理问题，有效降低复杂度。那么动态点分治就相当于用线段树处理序列问题一样，在分治的框架上加上了对于每个点的信息维护，对于每个点用堆来维护信息，这样来实现信息的维护与查询。
　　我们分几步来实现：
　　1. 建立“重心树”：我们发现我们在点分中重心存着路径的信息，所以我们只要维护跟重心有关的信息就可以了，考虑到分治过程的性质，所以修改了一个点，只会影响到这个点作为一个重心时以上的重心（以下称为“父重心”），所以我们先根据找重心的过程建立一棵“重心树”，一个点（作为重心时）隔开后得到的若干棵子树中的每一个重心的父重心就是这个点（这个点称为“子重心”），所以可以证明这棵树的深度是log级别的。每次只需要修改这个点在重心树中到根的路径上的点。
　　2. 构建可删堆：由于我们要维护的是最长链，思考静态的时候要维护的就是最大值，那么动态时我们就需要一个数据结构来维护这些最大值，支持更改与删除等操作，我们想到了“堆”，由于这个堆是需要支持删除操作的，这里讨论一下怎么删除：对于每个heap堆再开一个del堆，删除一个点的时候将要删除的值加入到del堆里面，然后调取top的时候如果heap堆和del堆的堆顶是一样的同时pop掉，直到不一样的时候的top就是真正的top了，其余操作类似。
　　3. 维护信息：对于每个点开两个堆维护信息，第一个c堆维护“这个重心的子树（包括这个重心）到父重心的距离”（求距离用LCA即可），第二个b堆维护“这个重心隔开后的几个子树中的最大深度（也就是子重心c堆的堆顶）”，然后全局开一个A堆维护“每一个b堆的最大值和次大值”，那么显然答案就是堆A的top。
　　4. 修改操作：这里讨论一下将1点变为0点的操作（0变为1类似），每次修改一个点显然需要直接影响到c堆，将在重心树中到根位置的中的点的c堆中删除掉这个点的值，就会影响到b堆，然后最终影响到A堆。每次修改先删除掉堆A的top，然后在父重心的b堆中删除掉这个点的c堆的top，删除掉这个c堆的top，然后再在父重心的b堆中加入这个点的c堆的top即可，修改的时候再维护一下A堆即可，处理一下细节。

Code

  1 #include<iostream>  
  2 #include<algorithm>  
  3 #include<cstdio>  
  4 #include<cstring>  
  5 #include<cstdlib>  
  6 #include<cmath>
  7 #include<queue>
  8 using namespace std;  
  9        
 10 const int ONE=100005;
 11    
 12 int n,T;
 13 int x,y;
 14 int next[ONE*2],first[ONE*2],go[ONE*2],tot;
 15 int Dep[ONE],Turnoff[ONE],Light;
 16 int fat[ONE];
 17 int f[ONE][21];
 18 char ch[10];
 19    
 20 int get()
 21 { 
 22         int res,Q=1;    char c;
 23         while( (c=getchar())<48 || c>57)
 24         if(c==\'-\')Q=-1;
 25         if(Q) res=c-48; 
 26         while((c=getchar())>=48 && c<=57) 
 27         res=res*10+c-48; 
 28         return res*Q; 
 29 }
 30    
 31 int Add(int u,int v)
 32 {
 33         next[++tot]=first[u];   first[u]=tot;   go[tot]=v;
 34         next[++tot]=first[v];   first[v]=tot;   go[tot]=u;
 35 }
 36    
 37    
 38 struct Heap_deal
 39 {
 40         priority_queue <int> heap,delet;
 41            
 42         void add(int x) {heap.push(x);}
 43         void del(int x) {delet.push(x);}
 44         void Pop()
 45         {
 46             while(!delet.empty() && heap.top()==delet.top())
 47             {
 48                 heap.pop();
 49                 delet.pop();
 50             }
 51             heap.pop();
 52         }
 53            
 54         int Top()
 55         {
 56             while(!delet.empty() && heap.top()==delet.top())
 57             {
 58                 heap.pop();
 59                 delet.pop();
 60             }
 61             return heap.top();
 62         }
 63            
 64         int SecondTop()
 65         {
 66             int jilu1=Top(); Pop();
 67             int jilu2=Top(); add(jilu1);
 68             return jilu2;
 69         }
 70            
 71         int Size()
 72         {
 73             return heap.size()-delet.size();
 74         }
 75 }A,b[ONE],c[ONE];
 76    
 77 void ADD(Heap_deal &a)
 78 {
 79         if(a.Size()>=2)
 80         {
 81             int r1=a.Top();
 82             int r2=a.SecondTop();
 83             A.add( r1+r2 );
 84         }
 85 }
 86    
 87 void DEL(Heap_deal &a)
 88 {
 89         if(a.Size()>=2)
 90         {
 91             int r1=a.Top();
 92             int r2=a.SecondTop();
 93             A.del( r1+r2 );
 94         }
 95 }
 96   
 97 namespace PartLCA
 98 {
 99         void Deal_first(int u,int father)
100         {
101             Dep[u]=Dep[father]+1;
102             for(int i=0;i<=19;i++)
103             {
104                 f[u][i+1]=f[f[u][i]][i];
105             }
106                     
107             for(int e=first[u];e;e=next[e])
108             {
109                 int v=go[e];
110                 if(v==father) continue;
111                 f[v][0]=u;
112                 Deal_first(v,u);
113             }
114         }
115            
116         int LCA(int x,int y)
117         {
118             if(Dep[x]<Dep[y]) swap(x,y);
119             for(int i=20;i>=0;i--)
120             {
121                 if(Dep[f[x][i]]>=Dep[y]) x=f[x][i];
122                 if(x==y) return x;
123             }
124               
125             for(int i=20;i>=0;i--)
126             {
127                 if(f[x][i]!=f[y][i])
128                 {
129                     x=f[x][i];
130                     y=f[y][i];
131                 }
132             }
133             return f[x][0];
134         }
135            
136         int dist(int x,int y)
137         {
138             return Dep[x]+Dep[y]-2*Dep[LCA(x,y)];
139         }
140 }
141   
142   
143 namespace PointF
144 {
145         int Min,center,vis_center[ONE];
146            
147         struct power
148         {
149             int size,maxx;
150         }S[ONE];
151            
152            
153         void Getsize(int u,int father)
154         {
155             S[u].size=1;
156             S[u].maxx=0;
157             for(int e=first[u];e;e=next[e])
158             {
159                 int v=go[e];
160                 if(v==father || vis_center[v]) continue;
161                 Getsize(v,u);
162                 S[u].size+=S[v].size;
163                 S[u].maxx=max(S[u].maxx,S[v].size);
164             }
165         }
166              
167         void Getcenter(int u,int father,int total)
168         {
169             S[u].maxx=max(S[u].maxx,total-S[u].size);
170             if(S[u].maxx<Min)
171             {
172                 Min=S[u].maxx;
173                 center=u;
174             }
175                
176             for(int e=first[u];e;e=next[e])
177             {
178                 int v=go[e];
179                 if(v==father || vis_center[v]) continue;
180                 Getcenter(v,u,total);
181             }
182         }
183            
184         void Add_c(int u,int father,int center)
185         {
186             c[center].add(PartLCA::dist(u,fat[center]));
187             for(int e=first[u];e;e=next[e])
188             {
189                 int v=go[e];
190                 if(v==father || vis_center[v]) continue;
191                 Add_c(v,u,center);
192             }
193         }
194            
195            
196         void New_tree(int u,int Last)
197         {
198             Min=n;
199             Getsize(u,0);
200             Getcenter(u,0,S[u].size);
201             vis_center[center]=1;
202                
203             fat[center]=Last;
204             if(Last!=0) Add_c(center,0,center);
205             if(c[center].Size()) b[Last].add(c[center].Top());
206                
207             int root=center;
208             for(int e=first[center];e;e=next[e])
209             {
210                 int v=go[e];
211                 if(vis_center[v]) continue;
212                 New_tree(v,root);
213             }
214         }
215 }
216   
217 namespace Control
218 {
219         void Turn_off(int x)
220         {
221             for(int i=x;fat[i];i=fat[i])
222             {
223                 DEL(b[fat[i]]);
224                 if(c[i].Size()) b[fat[i]].del(c[i].Top());
225                   
226                 c[i].del(PartLCA::dist(fat[i],x));
227                        
228                 if(c[i].Size()) b[fat[i]].add(c[i].Top());
229                 ADD(b[fat[i]]);
230             }
231         }
232            
233         void Turn_on(int x)
234         {
235             for(int i=x;fat[i];i=fat[i])
236             {
237                 DEL(b[fat[i]]);
238                 if(c[i].Size()) b[fat[i]].del(c[i].Top());
239                   
240                 c[i].add(PartLCA::dist(fat[i],x));
241                      
242                 if(c[i].Size()) b[fat[i]].add(c[i].Top());
243                 ADD(b[fat[i]]);
244             }
245         }
246 }
247   
248    
249 int main()
250 {
251         n=get();
252         Light=n;
253         for(int i=1;i<=n;i++) Turnoff[i]=1;
254         for(int i=1;i<n;i++)
255         {
256             x=get();    y=get();
257             Add(x,y);
258         }
259            
260         PartLCA::Deal_first(1,0);
261         PointF::New_tree(1,0);
262            
263         for(int i=1;i<=n;i++) ADD(b[i]);
264            
265         T=get();
266         while(T--)
267         {
268             scanf("%s",ch);
269             if(ch[0]==\'G\')
270             {
271                 if(Light==0) printf("-1");
272                 else if(Light==1) printf("0");
273                 else printf("%d",A.Top());
274                 printf("\\n");
275             }
276                
277             if(ch[0]==\'C\')
278             {
279                 x=get();
280                 if(Turnoff[x])
281                 {
282                     Turnoff[x]=0;
283                     Light--;
284                     Control::Turn_off(x);
285                 }
286                 else
287                 {
288                     Turnoff[x]=1;
289                     Light++;
290                     Control::Turn_on(x);
291                 }
292             }
293         }
294 }

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