[SCOI2012]滑雪与时间胶囊

Posted 2020-09-01 神犇(shenben)

2753: [SCOI2012]滑雪与时间胶囊

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Description

a180285非常喜欢滑雪。他来到一座雪山，这里分布着M条供滑行的轨道和N个轨道之间的交点（同时也是景点），而且每个景点都有一编号i（1<=i<=N）和一高度Hi。a180285能从景点i 滑到景点j 当且仅当存在一条i 和j 之间的边，且i 的高度不小于j。 与其他滑雪爱好者不同，a180285喜欢用最短的滑行路径去访问尽量多的景点。如果仅仅访问一条路径上的景点，他会觉得数量太少。于是a180285拿出了他随身携带的时间胶囊。这是一种很神奇的药物，吃下之后可以立即回到上个经过的景点（不用移动也不被认为是a180285 滑行的距离）。请注意，这种神奇的药物是可以连续食用的，即能够回到较长时间之前到过的景点（比如上上个经过的景点和上上上个经过的景点）。 现在，a180285站在1号景点望着山下的目标，心潮澎湃。他十分想知道在不考虑时间

胶囊消耗的情况下，以最短滑行距离滑到尽量多的景点的方案（即满足经过景点数最大的前提下使得滑行总距离最小）。你能帮他求出最短距离和景点数吗？

 

Input

输入的第一行是两个整数N，M。

接下来1行有N个整数Hi，分别表示每个景点的高度。

接下来M行，表示各个景点之间轨道分布的情况。每行3个整数，Ui，Vi，Ki。表示

编号为Ui的景点和编号为Vi的景点之间有一条长度为Ki的轨道。

 

Output

 

输出一行，表示a180285最多能到达多少个景点，以及此时最短的滑行距离总和。 

Sample Input

3 3
3 2 1
1 2 1
2 3 1
1 3 10

Sample Output

3 2

HINT

 

【数据范围】 

    对于30%的数据，保证 1<=N<=2000 

    对于100%的数据，保证 1<=N<=100000 

对于所有的数据，保证 1<=M<=1000000，1<=Hi<=1000000000，1<=Ki<=1000000000。

 

Source

 

题解：（摘自声亦香）(并不会证明)要是考场上能猜到这种结论就好了
    因为只能从高处到低处，所以无向边可以当有向边看待，然后按照题目意思就是给你一个有向图，求一个最小树形图，然后如果你用朱刘算法来算，就只能得到70分。
    这道题具有与其余最小树形图不一样的地方：点有高度！难道高度只是拿来转化为有向边吗？当然不是。 回想kruskal为什么不能求最小树形图？因为每次找的最小边是有向的，所以算法完成之后不能保证根可以到儿子，有可能有反向边！
    但是这道题的反向边只会在高度相同的点之间出现。如果把边先按终点高度排序为第一关键字，边长为第二关键字排序之后，就会保证优先到高点，同高点之间选小边，然后就不会出现反向的情况，所以可以用kruskal实现用O（mlog(m)）的时间复杂度解决这道题。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=1e5+5;
const int M=2e6+5;
struct data{int u,v,w;}f[M];
struct edge{int v,next;}e[M];int tot,head[N];
int n,m,cnt,h[N],q[N],a[M],b[M],c[M],fa[N];bool vis[N];

inline int read(){
    int x=0;char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){ch=getchar();}
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
    return x;
}
inline void add(int x,int y){
    e[++tot].v=y;e[tot].next=head[x];head[x]=tot;
}
int find(int x){
    return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
inline bool cmp(const data &a,const data &b){
    if(h[a.v]!=h[b.v]) return h[a.v]>h[b.v];
    return a.w<b.w;
}
inline void bfs(){
    int h=0,t=1;q[t]=1;vis[1]=1;
    while(h!=t){
        int x=q[++h];
        for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
            int v=e[i].v;
            if(!vis[v]){
                vis[v]=1;
                q[++t]=v;
            }
        }
    }
    printf("%d ",t);
}
inline void Kruskal(){
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(!vis[a[i]]||!vis[b[i]]) continue;
        if(h[a[i]]>=h[b[i]]) f[++cnt].u=a[i],f[cnt].v=b[i],f[cnt].w=c[i];
        if(h[b[i]]>=h[a[i]]) f[++cnt].u=b[i],f[cnt].v=a[i],f[cnt].w=c[i];
    }
    sort(f+1,f+cnt+1,cmp);
    long long ans=0;
    for(int i=1,fx,fy,k=0;i<=cnt;i++){
        fx=find(f[i].u);fy=find(f[i].v);
        if(fx!=fy){
            fa[fy]=fx;
            ans+=f[i].w;
            if(++k==n-1) break;
        }
    }
    printf("%I64d\n",ans);
}
int main(){
    freopen("ski.in","r",stdin);
    freopen("ski.out","w",stdout);
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) h[i]=read();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        a[i]=read(),b[i]=read(),c[i]=read();
        if(h[a[i]]>=h[b[i]]) add(a[i],b[i]);
        if(h[b[i]]>=h[a[i]]) add(b[i],a[i]);
    }
    bfs();
    Kruskal();
    return 0;
}