POJ 2096Collecting Bugs 概率期望dp

Posted 2020-06-17

题意

有s个系统，n种bug，小明每天找出一个bug，可能是任意一个系统的，可能是任意一种bug，即是某一系统的bug概率是1/s，是某一种bug概率是1/n。

求他找到s个系统的bug，n种bug，需要的天数的期望。

分析

计算期望E=∑所有可能需要的天数*概率

找到s个系统n种bug，需要最少max（s，n）天，而可能的天数是无穷的，这样计算很复杂，复杂到算不了。

所以考虑dp，期望E=∑（昨天可以转移到现在状态的所有可能的情况的期望+1）*概率=∑（昨天可以转移到现在状态的所有可能的情况的期望）*概率 +1

一开始我想用dp[i][j]表示已经找到i种bug，j个系统里找到bug，的期望天数，但是这样不能推出来，由【i-1，j】【i，j-1】【i，j】【i-1，j-1】四种状态推的话，需要1天的概率我们知道，但是这四种情况的概率加起来不等于1，也就是还有需要2天3天...的情况，概率很复杂计算更复杂（回到上面的复杂去了）

所以要dp[i][j]表示已经找到i种bug，j个系统里找到bug，离目标还需要的期望天数。

好，如果明天找到一个bug。

它就可以转移到这里：

dp[i+1][j]　　不属于i种，属于j个系统之一。　　概率为p1=(n-i)/n* j/s 。 

dp[i][j+1]　　属于i种之一，不属于j个系统。   　概率为p2=(s-j)/s* i/n 

dp[i+1][j+1]  不属于i种，不属于j个系统。  　　 概率为p3=(n-i)/n*(s-j)/s 

dp[i][j] 　　   属于i种之一，属于j个系统之一。　 概率为p4=i/n* j/s 

也就是比如找到了新种类，已知系统的bug，那明天离到达目标的期望天数就是dp[i+1][j]，那就是今天还差dp[i+1][j]+1天。

dp[i][j]就是它找到的没有用的bug，那明天浪费了，那今天还差dp[i][j]+1天。今天和明天的dp[i][j]是一样的。

p1+p2+p3+p4=1，所以有下面这个式子。

dp[i][j]=dp[i+1][j]*p1+dp[i][j+1]*p2+dp[i+1][j+1]*p3+dp[i][j]*p4 +1

移项（我很难理解为什么自己推自己，然后移项这样...）然后变成这样：dp[i][j]= ( n*s + (n-i)*j*dp[i+1,j] + i*(s-j)*dp[i,j+1] + (n-i)*(s-j)*dp[i+1,j+1] )/( n*s - i*j )  

 我们知道dp[n][s]=0，就是已经到达目标，还需要0天。然后逆推。

代码

#include<cstdio>
#define N 1005
double d[N][N];
int main()
{
    int n,s;
    scanf("%d%d",&n,&s);
    for(int i=n; i>=0; i--)
        for(int j=s; j>=0; j--)
        {
            if(i!=n||j!=s)
            d[i][j]=(d[i+1][j]*(n-i)*j+d[i][j+1]*i*(s-j)+d[i+1][j+1]*(n-i)*(s-j)+n*s)/(n*s-i*j);
        }
    printf("%.4f",d[0][0]);
    return 0;
}