[bzoj1002][FJOI2007]轮状病毒-题解[基尔霍夫矩阵][高精度][递推]

Posted 2020-08-31

Description

　　轮状病毒有很多变种，所有轮状病毒的变种都是从一个轮状基产生的。一个N轮状基由圆环上N个不同的基原子
和圆心处一个核原子构成的，2个原子之间的边表示这2个原子之间的信息通道。如下图所示

　　N轮状病毒的产生规律是在一个N轮状基中删去若干条边，使得各原子之间有唯一的信息通道，例如共有16个不
同的3轮状病毒，如下图所示

　　现给定n(N<=100)，编程计算有多少个不同的n轮状病毒

 

Input

　　第一行有1个正整数n

Output

　　计算出的不同的n轮状病毒数输出

Sample Input

3

Sample Output

16

---

首先明确一个事情，这个题与基尔霍夫矩阵有关，但是并不能用基尔霍夫矩阵做，原因等下讲。

对于一个图，我们令它的度数矩阵为D(D[i,i]表示点i的度数，其他为0)，令它的邻接矩阵为A(A[i,j]表示i是否有一条边连向j)

其基尔霍夫矩阵为D-A。

基尔霍夫矩阵可用于一个图的生成树计数，具体做法是去掉任意一行与任意一列，剩下的即是一个行列式，它左上到右下的对角线上的值的乘积就是该图生成树的数目(我真的不知道证明。。)，利用高斯消元将其变为上三角行列式然后求解即可。

但是很容易发现当n比较大时所得到的值是很大的，必须要用高精度，但是用基尔霍夫矩阵直接使用高斯消元求解是极其复杂的，所以我们不能直接用它求解。

然后我们发现这个题得到的基尔霍夫矩阵都是类似的，然后我们可以尝试找规律。

F(n) = 3*F(n - 1) - F(n - 2) + 2

有关规律的证明可以去看vfleaking的博客,有关基尔霍夫矩阵的可以去看周冬的论文,或者某阮的博客（推荐看前者）。

上代码

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstdlib>
 4 #include<cstring>
 5 using namespace std;
 6 inline int read()
 7 {
 8     char ch=getchar();int kin=1,gi=0;
 9     while(ch>‘9‘||ch<‘0‘){if(ch==‘-‘)kin=-1;ch=getchar();}
10     while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){gi=gi*10+ch-48;ch=getchar();}
11     return gi*kin;
12 }
13 struct big
14 {
15     int num[105];
16     int siz;
17     big operator *(int x)
18     {
19         big tmp=*this;
20         for(int i=1;i<=tmp.siz;++i)
21         {
22             tmp.num[i]*=x;
23         }
24         for(int j=1;j<=tmp.siz;++j)if(tmp.num[j]>=10)tmp.num[j+1]+=tmp.num[j]/10,tmp.num[j]%=10;
25         while(tmp.num[tmp.siz+1]!=0)tmp.siz++;
26         return tmp;
27     }
28     big operator +(int x)
29     {
30         big tmp=*this;
31         tmp.num[1]+=x;
32         for(int j=1;j<=tmp.siz;++j)if(tmp.num[j]>=10)tmp.num[j+1]+=tmp.num[j]/10,tmp.num[j]%=10;
33         while(tmp.num[tmp.siz+1]!=0)tmp.siz++;
34         return tmp;
35     }
36     big operator -(big d)
37     {
38         big tmp=*this;
39         for(int i=1;i<=min(d.siz,tmp.siz);++i)
40         {
41             if(tmp.num[i]<d.num[i])tmp.num[i+1]-=1,tmp.num[i]+=10;
42             if(tmp.num[i]>=d.num[i])tmp.num[i]-=d.num[i];
43         }
44         siz=max(d.siz,tmp.siz);
45         while(tmp.num[siz]==0)siz--;
46         return tmp;
47     }
48 }a[105];
49 int n,ans=1;
50 int main()
51 {
52     a[1].num[1]=1,a[2].num[1]=5;a[1].siz=a[2].siz=1;
53     n=read();
54     for(int i=2;i<n;++i)
55     {
56         a[i+1]=a[i]*3-a[i-1]+2;
57     }
58     for(int i=a[n].siz;i>0;--i)printf("%d",a[n].num[i]);
59 }

轮状病毒