并查集

Posted 2020-08-31 豆子

并查集

1. 并查集是什么

并查集是一种用来管理元素分组情况的数据结构。并查集可以高效地进行如下操作。不过需要注意并查集虽然可以进行合并操作，但是无法进行分割操作。

• 查询元素a和元素b是否属于同一组。

• 合并元素a和元素b所在的组。

2. 并查集的结构

并查集也是使用树形结构实现。不过，不是二叉树。

每个元素对应一个节点，每个组对应一棵树。在并查集中，哪个节点是哪个节点的父亲以及树的形状等信息无需多加关注，整体组成一个树形结构才是重要的。

3. 代码

 1 /*
 2 6
 3 1 1
 4 2 1
 5 5 1
 6 6 6 
 7 4 6
 8 7 4
 9 */
10 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
11 #include <iostream>
12 #include <cstring>
13 #include <cstdio>
14 #include <cstdlib>
15 using namespace std;
16 
17 const int maxn = 1000 + 100;
18 int par[maxn];     //父亲,  当par[x] = x时,x是所在的树的根
19 int Rank[maxn];    //树的高度
20 
21 //初始化n个元素
22 void init(int n)
23 {
24     for (int i = 0; i < n; i++) {
25         par[i] = i;
26         Rank[i] = 0;
27     }
28 }
29 
30 //查询树的根
31 int find(int x) {
32     if (par[x] == x) {
33         return x;
34     }
35     else {
36         return par[x] = find(par[x]);
37     }
38 }
39 
40 //合并x和y所属集合
41 void unite(int x, int y) {
42     x = find(x);
43     y = find(y);
44     if (x == y) return;
45     
46     if (Rank[x] < Rank[y]) {
47         par[x] = y;
48     } else {
49         par[y] = x;
50         if (Rank[x] == Rank[y]) Rank[x]++;    //如果x,y的树高相同,就让x的树高+1
51     }
52 }
53 
54 //判断x和y是否属于同一个集合
55 bool same(int x, int y) {
56     return find(x) == find(y);
57 }
58 
59 int main()
60 {
61     int n;
62     scanf("%d", &n);
63     init(n);
64 
65     int data, p;
66     cout << "输入数据: \n";
67     for (int i = 0; i < n; i++) {
68         scanf("%d%d", &data, &p);
69         par[data] = p;
70         Rank[p]++;
71     }
72 
73     cout << "输入合并集合: \n";
74     int p1, p2;
75     cin >> p1 >> p2;
76     unite(p1, p2);
77     cout << "查询是否属于一个集合: \n";
78     cin >> p1 >> p2;
79 
80     if (same(p1, p2)) {
81         puts("same");
82     }
83     else {
84         puts("diff");
85     }
86 
87     return 0;
88 }

4. 实例

食物链(POJ 1182)

Time Limit: 1000MS		Memory Limit: 10000K
Total Submissions: 67690		Accepted: 20010

Description

动物王国中有三类动物A,B,C，这三类动物的食物链构成了有趣的环形。A吃B， B吃C，C吃A。 现有N个动物，以1－N编号。每个动物都是A,B,C中的一种，但是我们并不知道它到底是哪一种。 有人用两种说法对这N个动物所构成的食物链关系进行描述： 

• 第一种说法是"1 X Y"，表示X和Y是同类。 

• 第二种说法是"2 X Y"，表示X吃Y。 

此人对N个动物，用上述两种说法，一句接一句地说出K句话，这K句话有的是真的，有的是假的。当一句话满足下列三条之一时，这句话就是假话，否则就是真话。 1） 当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话； 2） 当前的话中X或Y比N大，就是假话； 3） 当前的话表示X吃X，就是假话。 你的任务是根据给定的N（1 <= N <= 50,000）和K句话（0 <= K <= 100,000），输出假话的总数。 

Input

第一行是两个整数N和K，以一个空格分隔。 以下K行每行是三个正整数 D，X，Y，两数之间用一个空格隔开，其中D表示说法的种类。 若D=1，则表示X和Y是同类。 若D=2，则表示X吃Y。

Output

只有一个整数，表示假话的数目。

Sample Input

100 7

1 101 1 

2 1 2

2 2 3 

2 3 3 

1 1 3 

2 3 1 

1 5 5 

Sample Output

 3

Source

Noi 01

解析

由于N和K 很大，所以必须高效地维护动物之间关系，并快速判断是否产生了矛盾。并查集是维护“属于同一组”的数据结构，但是本题中，并不是只有属于同一类的信息，还有捕食关系的存在。因此需要思考如何维护这些关系。

对于每只动物i创建3个元素 i - A, i - B, i - C, 并用这3 x N个元素建立并查集。这个并查集维护如下信息:

• i-x表示 “i属于种类x"

• 并查集里每个组表示组内所有元素代表的情况都同时发生或不发生。

例如：如果i-A和j-B在同一个组里，就表示如果i属于种类A那么j一定属于种类B，如果i属于种类B那么j一定属于种类A。因此，得出下面的操作。

• 第一种，x和y属于同一种类·······合并x-A和y-A、x-B和y-B、x-C和y-C。

• 第二种，x吃y······························合并x-A和y-B、x-B和y-C、x-C和y-A。

不过在合并前，需要先判断合并是否会产生矛盾。例如在第一种信息的情况下，需要检查(x-A, y-B) ||(x-A, y-C)是否在同一组等。

代码:

  1 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
  2 #include <iostream>
  3 #include <cstring>
  4 #include <cstdio>
  5 using namespace std;
  6 
  7 const int maxn = 100000 * 2 + 100000;
  8 //输入(T是信息的类型)
  9 int N, K;           //N-N种类, K-K条信息
 10 int T[maxn], X[maxn], Y[maxn];
 11 
 12 //在这里省略了并查集部分代码
 13 int par[maxn];
 14 int Rank[maxn];
 15 void solve();
 16 void init(int n);
 17 int find(int x);
 18 void unite(int x, int y);
 19 bool same(int x, int y);
 20 
 21 void init(int n) {
 22     for (int i = 0; i < n; i++) {
 23         par[i] = i;
 24         Rank[i] = 0;
 25     }
 26 }
 27 
 28 //查询树根
 29 int find(int x)
 30 {
 31     if (par[x] == x) {
 32         return x;
 33     }
 34     else {
 35         return par[x] = find(par[x]);
 36     }
 37 }
 38 
 39 //合并x和y所属的集合
 40 void unite(int x, int y)
 41 {
 42     x = find(x);
 43     y = find(y);
 44     if (x == y) return;
 45 
 46     if (Rank[x] < Rank[y]) {
 47         par[x] = y;
 48     }
 49     else {
 50         par[y] = x;
 51         if (Rank[x] == Rank[y]) Rank[x]++;
 52     }
 53 }
 54 
 55 bool same(int x, int y) {
 56     return find(x) == find(y);
 57 }
 58 void solve()
 59 {
 60     //初始化并查集
 61     //元素x, x + N, x + 2 * N 分别代码 x-A, x-B, x-C
 62     init(N * 3);
 63 
 64     int ans = 0;
 65     for (int i = 0; i < K; i++) {
 66         int t = T[i];
 67         int x = X[i] - 1, y = Y[i] - 1; //把输入变成0,...N-1的范围
 68 
 69         //不正确的编号
 70         if (x < 0 || N <= x || y < 0 || N <= y) {
 71             ans++; continue;
 72         }
 73         
 74         if (t == 1) {
 75             // "x和y属于同一类"的信息
 76             if (same(x, y + N) || same(x, y + 2 * N)) {
 77                 ans++;
 78             }
 79             else {
 80                 unite(x, y);
 81                 unite(x + N, y + N);
 82                 unite(x + N * 2, y + N * 2);
 83             }
 84         }
 85         else {
 86             //"x吃y"的信息
 87             if (same(x, y) || same(x, y + 2 * N)) {  //A和A，A和C不能相等
 88                 ans++; 
 89             }
 90             else {
 91                 unite(x, y + N);         
 92                 unite(x + N, y + 2 * N);
 93                 unite(x + 2 * N, y);
 94             }
 95         }
 96     }
 97     printf("%d\n", ans);
 98 }
 99 int main()
100 {
101     cin >> N >> K;
102     for (int i = 0; i < K; i++)
103     {
104         cin >> T[i] >> X[i] >> Y[i];
105     }
106     solve();
107     return 0;
108 }