转：梯度下降法（上升法）的几何解释

Posted 2020-08-31 月是故乡明95

梯度下降法是机器学习和神经网络学科中我们最早接触的算法之一。但是对于初学者，我们对于这个算法是如何迭代运行的从而达到目的有些迷惑。在这里给出我对这个算法的几何理解，有不对的地方请批评指正！

        梯度下降法定义

        （维基百科）梯度下降法，基于这样的观察：如果实值函数  在点  处可微且有定义，那么函数 在  点沿着梯度相反的方向  下降最快。

        因而，如果

                       

        对于  为一个够小数值时成立，那么 。

        考虑到这一点，我们可以从函数  的局部极小值的初始估计  出发，并考虑如下序列  使得

                      

        因此可得到

 

       如果顺利的话序列  收敛到期望的极值。注意每次迭代步长  可以改变。

       
下面图片示例了这一过程，这里假设  定义在平面上，并且函数图像是一个碗形。蓝色的曲线是等高线(水平集)，即函数  为常数的集合构成的曲线。红色的箭头指向该点梯度的反方向。（一点处的梯度方向与通过该点的等高线垂直）。沿着梯度下降方向，将最终到达碗底，即函数  值最小的点。

梯度下降法几何解释：

       由于我们的任务是求得经验损失 函数的最小值，所以上图的过程实际上是一个“下坡”的过程。在每一个点上，我们希望往下走一步（假设一步为固定值0.5米），使得下降的高度最大，那么我 们就要选择坡度变化率最大的方向往下走，这个方向就是经验损失函数在这一点梯度的反方向。每走一步，我们都要重新计算函数在当前点的梯度，然后选择梯度的 反方向作为走下去的方向。随着每一步迭代，梯度不断地减小，到最后减小为零。这就是为什么叫“梯度下降法”。

       那么，为什么梯度的方向刚好是 我们下坡的反方向呢？为什么我们不是沿着梯度的方向下坡呢？这是因为，只有沿着梯度的反方向，我们才能下坡，否则就是上坡了……举个例子，在y=f（x） 的二维平面上，规定好x轴和y轴的方向后，如果曲线f（x）的值是随着x的增加上升的，那么它在某一点的切线的数值一定是正的。反之，若曲线f（x）的值 是随着x的增加下降的，则它在下降的某一点的切线的数值一定是负数。梯度是方向导数在某一点的最大值，所以其值必然是正数。如果沿着梯度方向走，经验损失 函数的值是增加的……所以，我们要下坡，就必须沿着梯度方向的反方向了。

 

梯度上升法几何解释：

       相对于梯度下降法，还有梯度上升法。（注意减号变成加号了）

                                   

       其基本原理与下降法一致，区别在于：梯度上升法是求函数的局部最大值。因此，对比梯度下降法，其几何意义和很好理解，那就是：算法的迭代过程是一个“上坡”的过程，每一步选择坡度变化率最大的方向往上走，这个方向就是函数在这一点梯度方向（注意不是反方向了）。最后随着迭代的进行，梯度还是不断减小，最后趋近与零。

       有一点我是这样认为的：所谓的梯度“上升”和“下降”，一方面指的是你要计算的结果是函数的极大值还是极小值。计算极小值，就用梯度下降，计算极大值， 就是梯度上升；另一方面，运用上升法的时候参数是不断增加的，下降法是参数是不断减小的。但是，在这个过程中，“梯度”本身都是下降的。

       注：这里的梯度减小指的是梯度的数值大小，不包含方向的正负号。