[中国剩余定理]学习笔记

Posted 2020-08-31

我会手写latex了哈哈哈O(∩_∩)O

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终于会插入公式了，这样就可以去抄别人的公式啦

第一段直接抄zyf2000 第二段自己写的

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求解同余方程请看 http://www.cnblogs.com/candy99/p/5765986.html

Chinese Remainder Theorem 中国剩余定理

求解同余方程组

$x\\equiv a_1\\pmod {m_1}\\\\ $
$x\\equiv a_2\\pmod {m_2} \\\\ $
$x\\equiv a_3\\pmod {m_3}\\\\$
$...\\\\$
$x\\equiv a_n\\pmod {m_n}$

其中 $ (m_i,m_j)=1,1<=i\\neq j<=k $

直接构造解：

$ M=m_1*m_2*m_3*...*m_k $

$ x=(\\sum\\limits_{i=1}^k a_i*{M\\over m_i}*inv({M\\over m_i},mi))\\%M $

证明：

x mod m[i]时 第i个式子因为有乘逆元所以结果是ai*1，其他的M可以整除m[i]所以都是0，方程组成立啊

 

ll m[N],a[N],M=1;
void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){
    if(b==0) d=a,x=1,y=0;
    else exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=(a/b)*x;
}
ll Inv(ll a,ll p){
    ll d,x,y;
    exgcd(a,p,d,x,y);
    return d==1?(x+p)%p:-1;
}
ll CRT(int n,ll *a,ll *m){
    ll x=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ll w=M/m[i];
        x=(x+a[i]*w%M*Inv(w,m[i]))%M;
    }
    return x;
}

 

合并同余方程

如果不满足m两两互质，我们采用合并同余方程的方法将方程两两合并

两个方程可以写成$ x=m_1*t_1+a_1=m_2*t_2+a_2 $ 

变形  $ m_1*t_1-m_2*t_2=a_2-a_1 $

有解时$ gcd(m_1,m_2) | (a_2-a_1) $

$exgcd$解出$t_1$，当前是$mod \\frac{m_2}{d}$意义下，找最小的$t_1$就行了

合并后方程为 $x\\equiv a_1+t_1*m_1\\pmod {lcm(m_1,m_2)}\\\\ $

 

void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){
    if(b==0) d=a,x=1,y=0;
    else exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=(a/b)*x;
}
int main(){
    freopen("in","r",stdin);
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF){
        int flag=0;
        m1=read();a1=read();n--;
        while(n--){
            m2=read();a2=read();
            if(flag) continue;
            ll d,t1,t2;
            exgcd(m1,m2,d,t1,t2);
            if((a2-a1)%d){flag=1;continue;}
            t1*=(a2-a1)/d;
            m2/=d;
            t1=(t1%m2+m2)%m2;
            a1=a1+m1*t1;
            m1*=m2;
        }
        if(flag) puts("-1");
        else printf("%lld\\n",a1);
    }
}