BZOJ 3992: [SDOI2015]序列统计 [快速数论变换 生成函数 离散对数]

Posted 2020-08-30 Candy?

3992: [SDOI2015]序列统计

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Description

小C有一个集合S，里面的元素都是小于M的非负整数。他用程序编写了一个数列生成器，可以生成一个长度为N的数列，数列中的每个数都属于集合S。

小C用这个生成器生成了许多这样的数列。但是小C有一个问题需要你的帮助：给定整数x，求所有可以生成出的，且满足数列中所有数的乘积mod M的值等于x的不同的数列的有多少个。小C认为，两个数列{Ai}和{Bi}不同，当且仅当至少存在一个整数i，满足Ai≠Bi。另外，小C认为这个问题的答案可能很大，因此他只需要你帮助他求出答案mod 1004535809的值就可以了。

Input

一行，四个整数，N、M、x、|S|，其中|S|为集合S中元素个数。第二行，|S|个整数，表示集合S中的所有元素。

Output

一行，一个整数，表示你求出的种类数mod 1004535809的值。

对于全部的数据，1<=N<=109，3<=M<=8000，M为质数，1<=x<=M-1，输入数据保证集合S中元素不重复

---

题意：有多少长为n的序列序列中每个元素属于S且乘积mod M=x

---

 

这道题太强啦

 

首先，发现m是一个质数，我们可以把乘法简化成加法

m的原根为g，让Si中元素取以g为底对模m的离散对数，记为ind[i]

因为g^0,1,...,m-1  (mod m) 互不相同，所以可以把[1,m-1]的数字表示出来，并且它的取值为[0,m-2]

离散对数也满足一些类似对数的性质，如ind(ab)=ind(a)+ind(b) (mod m-1) 证明的话我从网上随便找了个课件 

然后乘法就变成加法啦！

 

变成加法是为了用生成函数

这是一个可重集的组合问题，我们构造一个生成函数A(x)  a[ind[si]]=1，这样如果选择si次数就会加上ind[si]

A^N的ind[x]项系数就是答案啦

 

如何计算呢？

因为这是模意义下的乘法，所以要用NNT

然后注意要求的是ind[si]加起来mod(m-1) = ind[x]，所以乘法结束时需要把>m-1的加到mod (m-1) 上并清零

然后用多项式快速幂，单位元就是a[0]=1

 

注意别把语句放错位置以及别传错参数......

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
inline int read(){
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)f=-1;c=getchar();}
    while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=x*10+c-‘0‘;c=getchar();}
    return x*f;
}
int n,m,x,S;
ll A[N],ans[N];
 
ll P=1004535809,MOD=P;
ll Pow(ll a,ll b,ll MOD){
    ll ans=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%MOD)
        if(b&1) ans=ans*a%MOD;
    return ans;
}
ll PrimitiveRoot(ll p){
    if(p==2) return 1;
    for(ll g=2;g<p;g++){
        bool flag=1;ll m=sqrt(p);
        for(ll i=2;i<=m;i++) if((p-1)%i==0)
            if(Pow(g,(p-1)/i,p)==1) {flag=0;break;}
        if(flag) return g;
    }
    return 0;
}
int ind[N];
void iniInd(){
    int g=PrimitiveRoot(m),a=1;
    for(int i=0;i<m-1;i++,a=a*g%m) ind[a]=i;
}
 
struct NumberTheoreticTransform{
    int n,rev[N];
    ll g;
    void ini(int m){
        n=1;
        while(n<m) n<<=1;
         
        int k=0;
        while((1<<k)<n) k++;
        for(int i=0;i<n;i++){
            int t=0;
            for(int j=0;j<k;j++) if(i&(1<<j)) t|=(1<<(k-j-1));
            rev[i]=t;
        }
 
        g=3;
    }
    void DFT(ll *a,int flag){
        for(int i=0;i<n;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
        for(int l=2;l<=n;l<<=1){
            int m=l>>1;
            ll wn=Pow(g,flag==1?(P-1)/l:P-1-(P-1)/l,P);
            for(ll *p=a;p!=a+n;p+=l){
                ll w=1;
                for(int k=0;k<m;k++){
                    ll t=w*p[k+m]%P;
                    p[k+m]=(p[k]-t+P)%P;
                    p[k]=(p[k]+t)%P;
                    w=w*wn%P;
                }
            }
        }
        if(flag==-1){
            ll inv=Pow(n,P-2,P);;
            for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%P;
        }
    }
    void SQR(ll *A){
        DFT(A,1);
        for(int i=0;i<n;i++) A[i]=A[i]*A[i]%MOD;
        DFT(A,-1);
        for(int i=0;i<=m-2;i++) 
            A[i]=(A[i]+A[i+m-1])%MOD,A[i+m-1]=0;
    }
    ll C[N];
    void MUL(ll *A,ll *B){
        for(int i=0;i<n;i++) C[i]=B[i];
        DFT(A,1);DFT(C,1);
        for(int i=0;i<n;i++) A[i]=A[i]*C[i]%MOD;
        DFT(A,-1);
        for(int i=0;i<=m-2;i++) 
            A[i]=(A[i]+A[i+m-1])%MOD,A[i+m-1]=0;
    }
    void PowPoly(ll *A,int b,ll *ans){
        ans[0]=1;
        for(;b;b>>=1,SQR(A))
            if(b&1) MUL(ans,A);
    }
}fft;
     
int main(){
    freopen("in","r",stdin);
    n=read();m=read();x=read();S=read();
    fft.ini(m+m);
    iniInd();
    for(int i=1;i<=S;i++){
        int x=read();
        if(x) A[ind[x]]=1;
    }
 
    fft.PowPoly(A,n,ans);
    printf("%lld",ans[ind[x]]);
}