UOJ #122 NOI2013 树的计数

Posted 2020-08-30 lcf2000

题目链接：树的计数

　　这道题好神啊……正好有人讲了这道题，那么我就写掉吧……

　　首先，为了方便考虑，我们可以把节点重标号，使得\\(bfs\\)序变成\\(1,2,3,\\dots,n\\)，那么显然树的深度就是\\(dep_n\\)。

　　然后，我们来考虑一下\\(dfs\\)序和\\(bfs\\)序的性质。设\\(dfs\\)序中的第\\(i\\)个点为\\(d_i\\)，那么显然有\\(dep_{d_{i+1}} \\le dep_{d_i}+1\\)。由于我们已经进行了重标号，那么通过\\(bfs\\)序，我们可以得到\\(dep_i \\le dep_{i+1} \\le dep_i+1\\)。令\\(pos_i\\)表示节点\\(i\\)在\\(dfs\\)序中出现的位置，那么当\\(dep_i=dep_{i+1}\\)时，我们可以得到\\(pos_i<pos_{i+1}\\)。因为我们是按照\\(bfs\\)序编号的，所以对于同一深度的点，越早被\\(dfs\\)到编号就越小。

　　所以，我们建立一个数组\\(s_i\\)，\\(s_i=1\\)表示\\(dep_{i+1}=dep_i+1\\)，\\(s_i=0\\)表示\\(dep_{i+1}=dep_i\\)，那么显然\\(s_1=1\\)。并且当\\(pos_i>pos_{i+1}\\)时，我们可以推出\\(s_i=1\\)。因为上一段中提到了，如果\\(dep_i=dep_{i+1}\\)，则有\\(pos_i<pos_{i+1}\\)。

　　然后，我们接着考虑\\(dfs\\)序的限制。如果\\(d_i<d_{i+1}\\)，由于\\(dep_{d_{i+1}}-dep_{d_i} \\le 1\\)，我们可以得到一个式子：

\\[dep_{d_{i+1}}-dep_{d_i}=\\sum_{j=d_i}^{d_{i+1}-1}s_j\\]

　　于是我们可以得到一堆的约束条件。如果等号右边已经是\\(1\\)了，那么这段区间的未被确定的\\(s_j\\)就都是\\(0\\)了。在这种情况下，若\\(d_i \\neq 1\\)，则\\(d_i+1<d_{i+1}\\)。所以在另外一种情况下一定有\\(d_i+1=d_{i+1}\\)，也就意味着这个条件没用了。所以剩下的未确定的变量都有可能为\\(1\\)，而这些变量的取值和其他变量的取值无关，取到\\(1\\)的概率是\\(0.5\\)，对\\(dep_n\\)贡献为\\(0.5\\)。

　　最后，让我们来回顾一下算法流程：

　　1.确定所有的\\(s_i\\)必定等于\\(1\\)的位置

　　2.找出所有的限制条件，限制某些位置必须为\\(0\\)

　　3.剩下的未被限制的位置对答案贡献为\\(0.5\\)。

　　于是这道题就愉快地解决辣！(虽然我可能还是没有讲清楚)

　　参考博客：戳这里

　　下面贴代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
#define maxn 200010
 
using namespace std;
typedef long long llg;
 
int d[maxn],n,a[maxn],s[maxn];
double ans;
 
int getint(){
	int w=0;bool q=0;
	char c=getchar();
	while((c>\'9\'||c<\'0\')&&c!=\'-\') c=getchar();
	if(c==\'-\') c=getchar(),q=1;
	while(c>=\'0\'&&c<=\'9\') w=w*10+c-\'0\',c=getchar();
	return q?-w:w;
}
 
int main(){
	File("a");
	n=getint(); ans=1; s[1]++,s[2]--;
	for(int i=1;i<=n;i++) a[d[i]=getint()]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++) d[a[getint()]]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++) a[d[i]]=i;
	for(int i=2;i<=n;i++) if(a[i]<a[i-1]) s[i-1]++,s[i]--,ans++;
	for(int i=2;i<=n;i++) if(d[i-1]+1<d[i]) s[d[i-1]]++,s[d[i]]--;
	for(int i=1,j=0;i<n;i++) j+=s[i],ans+=((bool)(!j))*0.5;
	printf("%.3lf",ans+1);
	return 0;
}

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