第五章:向量运算

Posted 2020-08-30 王刚

第1节：零向量

1.零向量的概念

　　对于任意向量x，都有x+y=x，则x被称为零向量。例如，3D零向量为[0 0 0]。零向量非常特殊，因为它是唯一大小为零的向量，并且唯一一个没有方向的向量。

第2节：负向量

1.负向量的概念

　　对于向量x，如果x+(-x)=0，则-x就是负向量。

2.负向量的运算法则

　　

　　将此法则应用到2D，3D，4D中，则

　　-[x y] = [-x -y]

　　-[x y z] = [-x -y -z]

　　-[w x y z] = [-w -x -y -z]

3.负向量的几何解释

　　向量为负表示将得到一个和原向量大小相等，方向相反的向量。

第3节：向量的模

1.向量的模的概念

　　所谓的向量的模就是指向量的大小或者说长度。

2.向量的模的运算法则

　　在线性代数中，向量的模通常用在向量两边各加两条竖线的方式表示，如||v||，表示向量v的模。向量的模的计算公式如下：

　　

　　对于2D，3D向量的如下

　　　　

第4节：标量与向量的运算

1.运算法则

　　虽然标量与向量不能相加减，但是可以相乘，至于标量与向量的除法可以看做乘以倒数。

　　

　　对于2D，3D向量的如下

　　

2.几何解释

　　向量乘以标量或者除以标量，相当于以因子k来缩放向量的长度。

第5节：标准化向量

1.标准化向量的概念

　　所谓的标准化向量就是单位向量，就是向量的长度为1的向量。有时候也称作为法线。

2.运算法则

　　对于任意非零向量v，都能计算出一个和v方向相同的单位向量n，这个过程被称作为向量的“标准化”，要标准化向量，将向量除以它的大小（模）即可。

　　

第6节：向量的加法和减法

1.向量的加法和减法的前提

　　如果两个向量的维数相同，那么他们能够相加减，运算结果的向量的维数和原向量相同。

2.运算法则

　　向量的加法等于两个向量的分量相加，向量的减法相当于加上一个负向量。

　　

3.几何解释

　　向量的加法和减法引导出了三角形法则，即将向量的首尾相连就会得到加法的结果，如下

　　

第7节：距离公式

1.距离公式的推导

　　通过上面的三角形原则，我们可以发现，通过两个向量的加减可以得到第三个向量，我们将这个过程逆置，如果知道了两点的距离，如何求出其距离，我们可以利用向量的减法实现。

2.运算公式

　　在3D中，已知两点a，b，求两点之间的距离d？我们可以将a，b两点看做向量，然后b-a就是向量d，然后我们再计算向量d的模就是两点间的距离

　　

　　求出向量d后，再求d的模就是两点的距离

　　

第8节：向量的点乘

1.基本概念

　　标量可以和向量相乘，向量也可以和向量向量相乘，这就叫点乘，也叫做内积。标量与向量相乘不可以写点，向量与向量相乘必须要写点，向量的点乘优先级高于向量的加减法。注意：向量点乘后的结果是标量

2.运算法则

　　注意：向量点乘后的结果是标量，不再是向量。

　　

　　应用到2D，3D中为

　　a·b = a_xb_x + a_yb_y

　　a·b = a_xb_x + a_yb_y+ a_zb_z

3.几何解释

　　向量的点乘描述的是两个向量的相似程度，即两个向量之间的夹角的大小

　　向量的点乘的集合运算法如下，向量的点乘结果与cos函数有关，当两个向量垂直时，向量的点乘结果为0

　　

第9节：向量的投影

1.基本概念

　　给定两个向量v和n，能将v分解成两个分量，一个是垂直于向量n，一个平行于向量n，平行于向量n的向量我们称为在向量n上的投影。

　　

2.投影的求解

　　因为向量n平行于投影向量，所以可以求出向量n的单位向量再乘以投影的模，就可以得到投影向量，如下

　　

　　我们接下来求投影的模即可，我们可以根据三角函数的余弦公式来求出投影的模

　　

　　代入投影的模就可以求出投影向量

　　

3.垂直向量的求解

　　根据三角形法则，可以轻易求出垂直的向量

　　

第10节：向量的叉乘

1.基本概念

　　两个向量的叉乘得到是向量，且这个向量垂直于原来的两个向量。向量的叉乘只可以运用在3D向量中。

　　

2.数学运算公式

　　

3.几何运算公式

　　向量叉乘的结果向量的长度与两个向量的夹角有关，且成正弦函数关系，如果向量a和b是平行关系，则叉乘的结果为0，因为sin0为0

　　

4.向量叉乘方向的判断

　　向量的叉乘是通过右手定则来判断结果向量的方向的。伸出右手，四指弯曲符合向量叉乘的顺序，那么大拇指就是叉乘后结果向量的方向。如下图axb，右手四指弯曲方向从a到b，大拇指方向向上就是叉乘结果向量的方向。