谈协方差矩阵

Posted 2020-08-30

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在做数字图像处理的时候，特别是PCA降维的时候，很多情况下要遇到协方差矩阵，其实一直糊里糊涂的不知道到底是个什么东西，

以下是我收集的网上资料做的整理和自己的一些理解。

统计学的基本概念

学过概率统计的孩子都知道，统计里最基本的概念就是样本的均值，方差，或者再加个标准差。首先我们给你一个含有n个样本的集合，依次给出这些概念的公式描述，这些高中学过数学的孩子都应该知道吧，一带而过。

均值：

方差：

　　均值方差的意义我就不多说了，均值就是描述样本总体水品的，班级平均分你总归明白的吧。

方差呢就是描述样本稳定性的，比如你的成绩，一会儿全班第一，一会儿不及格，这就是方差很大。张三总是在班级前十，但也没当过第一，这方差就比较小。

　　那么协方差到底是做什么用的呢？

　　我们一直在讨论一个随机变量的情况，一个随机变量的均值，一个随机变量的方差，当涉及到两个随机变量的时候，有时候我们要判定他们两个的相关性，协方差的意义就在于此。

　　我们再回头看方差的定义：

　　　　　　　　　　　　　　

　　　这是描述的一个随机变量，

　　然后我们看看两个随机变量X,Y，协方差的定义如下：

　　　　　　　　　　　　　　

　　明白了吧，协方差在描述两个随机变量之间的相关度。

 

　　基于以上理论，我们明白了协方差的意义。那么协方差矩阵又是做什么的呢？想象一下，两个随机变量X,Y我们可以用协方差表示，那么10个，20个，n个呢。协方差矩阵就产生了。定义n维随机变量Xn=[X1，X2，X3，.....Xn-1，Xn]；（其实相当于n个随机变量的集合）

我们用协方差矩阵表示他们互相之间的协方差：

　　　　　　　　　　　　

　　　　　　（式中Un表示Xn的均值）

明显这是个对称矩阵，第i行j列，或者j行i列的值，表示Xi与Xj的协方差。

 

好了，最后，我觉得理解协方差矩阵的关键点在于理解多维随机变量，不同维度之间的协方差，对应起来就是协方差矩阵的元素。