A*算法在求最短路上的应用

Posted 2020-08-30

在学习A*算法之前，首先回忆一下一个非常经典的单源最短路算法Dijkstra

1）维护一个表dist，储存当前求出的各点到S的距离

2）取出dist表中的最小值（显然这个过程是可以用堆优化的），并用该最小值对其他各点的dist值做松弛更新

3）重复2）过程，直到取出的最小值对应节点为T

 

这里其实无形中也用到了接下来即将讲到的open表和close表的概念

open表储存的是待扩展的点，一定程度上对应Dijkstra中的list

close表中储存的是已经扩展过的点，以防出现重复

 

那么接下来谈谈A*算法在Dijkstra算法的基础上做了什么

让我们回忆一下，多源最短路算法求出来的结果是什么，其实远远超出了我们的所需，我们最终得到的dist，是S到所有点的最短路距离。

然而当我们只需要S到T的最短路时，我们为什么需要去扩展那些我们没有必要扩展的点，哪怕它对应当前最小的dist？最小的dist又不一定会对S到T的最短路求解有必然的帮助。

所以我们需要引入一个评估函数

　　　　　　　　　　　　f(p)=h(p)+g(p)

其中， g(p)表示S到p的实际最短距离，h(p)表示p到T的估计距离

g(p)是容易解决的，因为当你对p开始进行评估时，说明它的dist是当前最小，毫无疑问它当前的dist就是g(p)

h(p)取决于问题设定，视情况而定，一般设为p到T的曼哈顿距离或欧几里得距离（栅格化地图中前者更常用）

当你发现，f(p)甚至比当前T的dist还要大，那么根本没有必要对p进行拓展。假装自己扩展过了，将p打入close表的冷宫吧！

这里有一个前提，h(p)估算出的距离必须小于或等于p到T的实际最短距离，这一点比较显然，却是A*算法优化的基础（其实就是一个很基本的搜索剪枝的思想）

先给出A*的流程

1）将起点S放入open表中

2）对open表中dist最小的相邻节点进行评估，评估不合格则直接放入close表（孩子你没救了，洗洗睡吧

　　否则进行拓展，将该点放入open表待扩展（少侠有前途，我钦点看好你

　　扩展以后的点，也放入close表（该干的都干了，可以卸甲归田了

3）close表中出现了T！那啥也别说了，算法结束

如果需要记录路径的话，只要记录一下某个点是从哪个点扩展而来的，记录一下父节点即可。

 

最后思考一下为什么A*算法中这么强调open表

因为A*算法利用评估函数力求缩减扩展的次数，但Dijkstra一开始就是冲着把所有点扩展一遍去的，因而不需要open表（因为它的open表默认包含了所有点）

但A*则是在评估以后再判断是否放入open表中扩展，这就是优化所在。