莫比乌斯反演笔记

Posted 2020-08-29 №〓→龙光←

 

已知：$\sum_{t|n}\mu (t)=[n=1]$

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一,求${\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=1]}$

　　其中$n\leq 1e7,m\leq 1e7$

 

　　原式${=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} \sum_{t|i,t|j}\mu (t)}$

　　　　${=\sum_{t=1}^{n}\left \lfloor \frac{n}{t} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{t} \right \rfloor\mu (t)}$

 

 

　　线性筛莫比乌斯函数即可

　　

　　

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<vector>
 5 #include<cstdlib>
 6 #include<cmath>
 7 #include<cstring>
 8 using namespace std;
 9 #define maxn 10010
10 #define llg long long
11 #define N 2010 
12 #define yyj() freopen("input.txt","r",stdin),freopen("output.txt","w",stdout);
13 llg n,m,T,cnt,prime[maxn],mobius[maxn],bj[maxn];
14 
15 void init_mobius()
16 {
17     mobius[1]=1;
18     for (llg i=2;i<=N;i++)
19     {
20         if (!bj[i])
21         {
22             prime[++cnt]=i; mobius[i]=-1;
23         }
24         for (llg j=1;j<=cnt && prime[j]*i<=N;j++)
25         {
26             bj[i*prime[j]]=1;
27             if (i%prime[j]) mobius[i*prime[j]]=-mobius[i];
28             else
29             {
30                 mobius[i*prime[j]]=0;
31                 break;
32             }
33         }
34     }
35 }
36 
37 int main()
38 {
39     yyj();
40     cin>>T;
41     init_mobius();
42 //    for (llg i=1;i<=10;i++) cout<<i<<"-->"<<mobius[i]<<endl;
43     T=10;
44     while (T--)
45     {
46         llg ans=0;
47         scanf("%lld%lld",&n,&m);
48         for (llg t=1;t<=n;t++) 
49         {
50             ans+=floor((n/t))*floor((m/t))*mobius[t];
51         }
52         printf("%lld\n",ans*4+4);
53     }
54     return 0;
55 }

 

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　　二,求${\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=g]$,$n\leq 1e7,m\leq 1e7}$

 　　

　　令：n\leq m

 

　　原式${=\sum _{g=1}^{n}g\sum _{i=1}^{\frac{n}{g}}\sum _{j=1}^{\frac{m}{g}}[gcd(i,j)=1]}$

　　　　${=\sum _{g=1}^{n}g\sum _{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{g} \right \rfloor}\sum _{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{g} \right \rfloor}\sum _{t|i,t|j}\mu (t)}$

 　　　  ${=\sum _{g=1}^{n}g\sum_{t=1}^{t\leq \frac{n}{g}}\left \lfloor \frac{n}{tg} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{tg} \right \rfloor\mu (t)}$

 

　　推到这一步可以发现${\sum _{g=1}^{n}\sum_{t=1}^{t\leq \frac{n}{g}}}$是一个调和级数，预处理莫比乌斯函数，然后直接枚举g,然后就可以了。