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Posted 2020-08-29 晴天下的阳光雨

题目连接

题目意思：有单位价值为1 2 5的三种硬币，分别给出他们的数量，求用这些硬币不能组成的最小的价值

解题思路：普通的母函数

普通的母函数：

　利用母函数的思想可以解决很多组合问题，下面举例说明：

　1.口袋中有白球2个，红球3个，黄球1个，从袋中摸出3个球有几种取法？

　   和上面描述的例子类似，我们可以用次数代表球的个数，多项式的每一项前面的系数代表取法的种树。

　　可以很容易地写出下面这个式子：

　　（1+x+x²）（1+x+x²+x³）（1+x）

 　　（1+x+x²）表示有白球2个，1（1可以看做是x的0次方）表示白球不取，x代表取1个白球，x2代表取2个白球，即用x的次数表示取球的个数，后面的也是类似。那么这个多项式的乘积就把所有的情况都表示出来了，对于最终乘积的每一项a_nxⁿ，表示取n个球有a_n种取法。

 

    2.有若干个1克，2克，5克的砝码，要称出20克的重量，有多少种称法？

　　这里不限制砝码的个数，无所谓，照样写出母函数：

　　（1+x+x²+x³+......x^k+....）（1+x²+x⁴+x⁶......+x²ⁿ+......）（1+x⁵+x¹⁰+......x5^m+......）

　　因为要称出20克，所以只需要找找到结果中次数为20 的那一项就可以得到结果。

    3.同样对于正数划分也可以解决，比如有整数20，划分成1，2，5，有多少种划分方法？

　　解法和2的类似。

     还有一类题目和这类似，有n个球放到m个盒子中，有多少种不同的放法？

    （1+x+x2+x3+...xk+...）（1+x+x2+x3+...xk+...）（1+x+x2+x3+...xk+...）总共有m项，然后找出乘积中次数为n的那一项系数。

代码实现：

模拟多项式的乘积过程，c[i]表示次数为i的系数，成tempc[]数组是一个暂存数组

该题的母函数不难得出是（1+x+x²+x³+......x^k+....）（1+x²+x⁴+x⁶......+x²ⁿ+......）（1+x⁵+x¹⁰+......x5^m+......）

对于单位价值为1的硬币，不去次数为0，取一个次数为1，取两个次数为2.。。。。。

对于单位价值为2的硬币，不去次数为0，取一个次数为2，取两个次数为4.。。。。。

对于单位价值为5的硬币，不去次数为0，取一个次数为5，取两个次数为10.。。。。。

普通母函数的精髓就是将组合问题通过次数及系数来表示在某次组合中的选择是怎样的，如分别选择多少个什么种类的东西

c[]数组初始化为第一个多项式乘积因子（1+x+x²+x³+......x^k+....）的相应次数的系数

tempc[]数组暂存多项式乘积因子（1+x+x²+x³+......x^k+....）与多项式乘积因子（1+x²+x⁴+x⁶......+x²ⁿ+......）相乘后相应的次数的系数，并赋给c[]数组。

注意：此时c[]数组存储的是多项式乘积因子（1+x+x²+x³+......x^k+....）与多项式乘积因子（1+x²+x⁴+x⁶......+x²ⁿ+......）相乘后相应的次数的系数。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cmath>
 5 #include<algorithm>
 6 using namespace std;
 7 int main()
 8 {
 9     int cent[3]={1,2,5};
10     int i,j,k,num[3],c[8005],tempc[8005];
11     while(~scanf("%d%d%d",&num[0],&num[1],&num[2]))
12     {
13         if(num[0]==0&&num[1]==0&&num[2]==0)break;
14         int max=num[0]+num[1]*2+num[2]*5;
15         memset(c,0,sizeof(c));
16         memset(tempc,0,sizeof(tempc));
17         for(i=0;i<=num[0]*cent[0];i+=cent[0])
18         c[i]=1;
19         for(i=1;i<3;i++)
20         {
21             for(j=0;j<=max;j++)
22             for(k=0;k+j<=max&&k<=cent[i]*num[i];k+=cent[i])
23             tempc[k+j]+=c[j];
24             for(j=0;j<=max;j++)
25             {
26                 c[j]=tempc[j];
27                 tempc[j]=0;
28             }
29         }
30         for(i=0;i<=max;i++)
31         {
32             if(c[i]==0)break;
33         }
34         printf("%d\n",i);
35     }
36     return 0;
37 }