广义快速幂

Posted 2020-08-28 强势围观

设：○为一种运算且与集合V构成群，a∈V，e为○运算的幺元。

（群有4大性质：1.运算封闭性，2.满足结合律，3.有幺元，4.有逆元）

即e满足对于任意的a,有 e○a=a○e=a

我们可以记

a⁰=e

aⁿ=a^n-1○a

则有以下性质

a^n+m=aⁿ○a^m

则此时计算a关于○运算的n次幂的快速幂可以这样写

int  quick_pow(int a,int n)
{
    res=e;
    temp=a;
    while(n)
    {
        if(n&1)
        {
            res=res ○ temp;
        }
        temp=temp ○ temp;
        n>>=1;
    }
    return res;
}

 

然后就像a^b=a*a*a*a*a… 是关于乘法的幂运算，又因为1*a=a*1=a,所以乘法幺元e就是1，带入上面的程序就可以得到最常见的乘法快速幂

同理，a*b=a+a+a+a……,其实就是关于加法的幂运算，至于加法的幺元，因为a+0=0+a=a，所以加法幺元就是0，带入上面程序便可得到快速乘法运算

下面是我自己写得广义快速幂模板，这个模板的写法可以就很多种，你也可以定义一个群的结构体或类，把快速幂，幺元都写进去，再重载运算符之类，大家按自己的喜好写就行了

struct Operator
{
    int e;
    int calculation(int a,int b)
    {
        int res=e;
        /*
        运算内容
        */
        return res;
    }
    
}op;
int  quick_pow(int a,int n,Operator op)
{
    res=op.e;
    temp=a;
    while(n)
    {
        if(n&1)
        {
            res=op.calculation(res,temp);
        }
        temp=op.calculation(temp,temp);
        n>>=1;
    }
    return res;
}