1748:约瑟夫问题

Posted 2020-08-28 zcsor

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描述
约瑟夫问题：有ｎ只猴子，按顺时针方向围成一圈选大王（编号从１到ｎ），从第１号开始报数，一直数到ｍ，数到ｍ的猴子退出圈外，剩下的猴子再接着从1开始报数。就这样，直到圈内只剩下一只猴子时，这个猴子就是猴王，编程求输入ｎ，ｍ后，输出最后猴王的编号。

输入
每行是用空格分开的两个整数，第一个是 n, 第二个是 m ( 0 < m,n <=300)。最后一行是：

0 0

输出
对于每行输入数据（最后一行除外)，输出数据也是一行，即最后猴王的编号
样例输入
6 2
12 4
8 3
0 0
样例输出
5
1
7

约瑟夫问题的递推公式是ｆ［１］＝０，ｆ［ｉ］＝（ｆ［ｉ－１］＋ｍ）ｍｏｄ　ｉ。不过是一个“数据结构之指针和链表”里面的问题，所以还是先用链表和指针解决。因为要移除中间元素，所以需要一个双向链表，这里用一个数组来模拟：

１、构建结构和数组：

struct node{
    int id;
    node *pre;
    node *next;
}lst[302];

２、初始化数组元素的ｉｄ：

    for(m=1;m<=302;m++){
        lst[m].id=m;
    }

３、初始化数组元素的指针：

    for(i=1;i<=n;i++){
        lst[i].next=&lst[i+1];
        lst[i].pre=&lst[i-1];
    }
    lst[n].next=&lst[1];
    lst[1].pre=&lst[n];

４、查询需要删除的元素，直到当前元素和下一个元素都指向同一个元素：

    node *cur=&lst[1];
    while(cur->next!=cur){
        for(i=2;i<=m;i++){            
            cur=cur->next;
        }
        cur->pre->next=cur->next;
        cur->next->pre=cur->pre;
        cur=cur->next;
    }

此时，ｃｕｒ－＞ｉｄ就是那个猴子王的初始编号。多组数据步骤２只需要进行一次，然后重复步骤３、４就可以了。但无论如何，这种方法的时间复杂度明显大于直接用数学方法进行求解，并且编码也多出很多。完整代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
struct node{
    int id;
    node *pre;
    node *next;
}lst[302];

int getking(int n,int m){
    int i;
    //1、设置前后指针
    for(i=1;i<=n;i++){
        lst[i].next=&lst[i+1];
        lst[i].pre=&lst[i-1];
    }
    lst[n].next=&lst[1];
    lst[1].pre=&lst[n];
    //2、查询
    node *cur=&lst[1];
    while(cur->next!=cur){
        //2.1、向后数到m
        for(i=2;i<=m;i++){            
            cur=cur->next;
        }
        //2.2、更新前后元素指针和当前数1的
        cur->pre->next=cur->next;
        cur->next->pre=cur->pre;
        cur=cur->next;
    }
    return cur->id;
}
int main(){
    int m,n;
    //初始化数组里的编号
    for(m=1;m<=302;m++){
        lst[m].id=m;
    }
    //获得输入并求解
    cin>>n>>m;
    while(m!=0 && n!=0){
        cout<<getking(n,m)<<endl;
        cin>>n>>m;
    }
}

然后，我们来考虑一下不模拟报数过程来求解，当一个人出局之后，剩下ｎ－１人继续这个游戏，直到剩余１人。递推：１人时进行这个游戏，他不会出局的，两人呢？剩下的人是下次还能报数的那个，谁下次还能报数？同样，考虑３个人的情况，可以得出递推公式。核心代码如下：

    s=0;
    for(i=2;i<=n;i++){
       s=(s+m)%i;
    }
    cout<<s+1;