冬令营DAY3 T1 Matrix

Posted 2020-08-28 小飞淙的云端

题目描述 Description

生活中，我们常常用 233 表示情感。实际上，我们也会说 2333，23333，等等。 于是问题来了： 定义一种矩阵，称为 233 矩阵。矩阵的第一行依次是 23, 233，2333，23333，等。 此外，对矩阵的第 i 行、第 j 列的元素有 a[i][j] = a[i-1][j] + a[i][j-1]，若 i, j 均大于 1。 　告诉了你矩阵第一列的第 2~n 个元素，你能否算出矩阵的第 n 行、第 m 列的元素呢？

输入描述 Input Description

输入文件包含多组数据（不超过 3 组），每组数据的格式如下： 第一行，两个整数 n, m。 第二行，n-1 个整数，依次是 a[2][1], a[3][1], …, a[n][1]，表示矩阵第一列的第 2~n 个元素。（而 a[1][1] = 23，a[1][2] = 233，a[1][3] = 2333，以此类推）

输出描述 Output Description

输出若干行，每行一个整数，依次表示每组数据的答案模 10000007 后的结果。

样例输入 Sample Input

2 2 1 3 3 0 0 4 8 23 47 16

样例输出 Sample Output

234 2799 72937

数据范围及提示 Data Size & Hint

50% 的测试数据，1 <= m <= 10^6. 100% 的测试数据，1 <= n <= 11，2 <= m <= 10^9，0 <= a[i][1] <= 10^8.

考试时候第一反应骗50分走人，然后果真就骗五十分走人了，想都没想，现在想起十分后悔。

注意到m范围贼大，普通数组肯定存不下，而n的范围那么小，肯定就能想到矩阵快速幂。

对于第一行f(1,i)=10*f(1,i-1)+3，其中f(1,1)=23，以后的行f(i,j)=f(i-1,j)+f(i,j-1);

先设计一个目标矩阵，我们要得到f(n,m)的值，根据套路，那就把f(1,m),f(2,m)...f(n,m)当成一个目标矩阵吧，这个矩阵由f(1,m-1),f(2,m-1)..f(n,m-1)转移而来，根据转移方程以及矩阵乘法规则，我们能很容易找到转移矩阵，这个矩阵大概是这样：

10	0	0	0	0	3
10	1	0	0	0	3
10	1	1	0	0	3
10	1	1	1	0	3
10	1	1	1	1	3
0	0	0	0	0	1

至于最后一行是什么鬼，我们注意到第一行递推式f(1,i)=10*f(1,i-1)+3中那个3很难搞，于是我们就在目标矩阵中最下面再来一个1，这样乘法就方便多了。

当然，上面那个矩阵是不唯一的，当n不同时，矩阵的样子也不同，但都是有规律的。然后，我们对于每一组数据，构造出一组转移矩阵，然后初始的矩阵也很好搞，然后快速幂一波就好了。下面是代码：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define MOD 10000007
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(!isdigit(c)){if(c==‘-‘)f=-1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=x*10+c-‘0‘;c=getchar();}
    return x*f;
}
struct matrix
{
    int x,y,a[21][21];//x为列数,y为行数,a[i][j]表示在矩阵中第i-1行，j-1列的数
    matrix(){x=y=0;memset(a,0,sizeof(a));}
    matrix operator = (const matrix &s)
    {
        x=s.x;y=s.y;
        memcpy(a,s.a,sizeof(s));
        return *this;
    }
    matrix operator * (const matrix &s)const
    {
        matrix c;c.y=y;c.x=s.x;
        for(int i=0;i<c.y;i++)
            for(int j=0;j<c.x;j++)
                for(int k=0;k<x;k++)
                {
                    LL tmp=(LL)(a[i][k]%MOD)*(LL)(s.a[k][j]%MOD);
                    c.a[i][j]=(c.a[i][j]+tmp%MOD)%MOD;//此处一定要多多小心，防止int*int爆炸
                }
        return c;
    }
};
int n,m,ans,mat[20];
matrix mod_pow(matrix C,int n)
{
    matrix ret=C,tmp=C;n--;
    while(n)
    {
        if(n&1)ret=ret*tmp;
        tmp=tmp*tmp;
        n>>=1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    freopen("matrix.in","r",stdin);
    freopen("matrix.out","w",stdout);
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<n;i++)mat[i]=read()%MOD;
        matrix A;A.x=1;A.y=n+1;A.a[0][0]=23;//构造初始矩阵
        for(int i=1;i<n;i++)A.a[i][0]=mat[i];A.a[n][0]=1; 
        matrix B;B.x=n+1;B.y=n+1;//构造转移矩阵
        for(int i=0;i<n;i++)B.a[i][0]=10,B.a[i][n]=3;
        B.a[n][n]=1;
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=1;j<=i;j++)B.a[i][j]=1;
        matrix final=mod_pow(B,m-1)*A;
        printf("%d\n",final.a[n-1][0]);
    }
    return 0;
}

这是我第一次用结构体写矩阵，认为很好使。以后就用这个了。以下是模板，还附带一个可调试的print函数，可输出矩阵：

 1 struct matrix
 2 {
 3     int x,y,a[21][21];//x为列数,y为行数,a[i][j]表示在矩阵中第i-1行，j-1列的数
 4     matrix(){x=y=0;memset(a,0,sizeof(a));}
 5     matrix operator = (const matrix &s)
 6     {
 7         x=s.x;y=s.y;
 8         memcpy(a,s.a,sizeof(s));
 9         return *this;
10     }
11     matrix operator * (const matrix &s)const
12     {
13         matrix c;c.y=y;c.x=s.x;
14         for(int i=0;i<c.y;i++)
15             for(int j=0;j<c.x;j++)
16                 for(int k=0;k<x;k++)
17                 {
18                     LL tmp=(LL)(a[i][k]%MOD)*(LL)(s.a[k][j]%MOD);
19                     c.a[i][j]=(c.a[i][j]+tmp%MOD)%MOD;
20                 }
21         return c;
22     }
23 };
24 matrix mod_pow(matrix C,int n)
25 {
26     matrix ret=C,tmp=C;n--;
27     while(n)
28     {
29         if(n&1)ret=ret*tmp;
30         tmp=tmp*tmp;
31         n>>=1;
32     }
33     return ret;
34 }
35 void print(matrix A)
36 {
37     for(int i=0;i<A.y;i++)
38     {
39         for(int j=0;j<A.x;j++)printf("%d ",A.a[i][j]);
40         printf("\n");
41     }
42 }