51nod1317 相似字符串对 组合数学

Posted 2020-08-27 c

称一对字符串（A，B）是相似的，当且仅当满足以下条件：

（1）字符串A和B都恰好包含N个字符；

（2）A和B串中的每个字符都是小写字母的前k个字符，即A、B中只可能出现‘a‘,‘b‘,‘c‘,...，（‘a‘+k-1）这k个字符；

（3）存在一个字符串C，满足：A+C=C+B。这里的“+”号表示字符串间的链接，即str1+str2 = str1str2，如：“aaa”+“csd”=“aaacsd”。

例如，N=3，k=4那么（"aad","daa"）就是相似字符串对。

因为C="aa"时，有"aad"+"aa"="aadaa"="aa"+"daa".

现在给出N与k，问有多少种不同的相似字符串对，输出这个结果 mod 1,000,000,007的值。

说明：两个字符串对(A,B)与(C,D)是不同的，只要 A!=C 或 B!= D。

 

例如：N=2，k=2，一共有6种不同的相似字符串对，它们是：  ("aa", "aa"), ("ab", "ab"), 

("ab", "ba"), ("ba", "ab"), ("ba", "ba"), ("bb", "bb").

Input

一行2个整数N,k，其中1<=N<=1,000,000,000,1<=k<=26

Output

一个整数，即不同相似字符串对的数量 mod  1,000,000,007后的结果。

Input示例

2 2

Output示例

6

 

求满足条件的字符串的数量
思路：
找得到字符串C的条件是什么？怎么去计数？怎么防止重复计算？
在写一些小字符串手算方案数之后，发现其实问的就是：
长度为n的字符串，一共有k^n个，
对每个字符串拿一个后缀放到前面组成新串，再和原串组成的pair的个数
比如一个串xy可以组成(xy,xy),(xy,yx)
不考虑重复的话，答案就是k^n * n(空串也算一个后缀)
考虑重复后发现，
对于一个串str，可以写成循环的模式(s)k，表示由k个s连接可以形成str，并且使得
k最大，也就是|s|最小，那str可以组成的pair有|s|个，对答案贡献|s|
并且每一个str都可以写成循环的模式，因为str = (str)1
令f(i)表示|s|为i的字符串的方案数
则ans = ∑i|nf(i) * i
令g(i)表示|s|为i的约数的字符串的方案数
则：
g(i) = ki = ∑d|if(d)
反演以下就得到f的公式了，代入ans这个式子，再推一推，得到：
ans = ∑k|n k * Ak ∑j|n/k mu(j) * j
这里的A是输入的数据"k"
对于后面的求和，只需要考虑mu(j)不为0的情况，
一个固定的n/k,可以根号求素因子，再dfs枚举每个素因子要不要，求和
复杂度小于O(sqrt(n/k) + 2^10)
然后n最多大约有800个因子k
所以这里直接枚举k，对于每一个k"一次根号+一次dfs"求后面的求和式子是没问题的