BZOJ4405 [wc2016]挑战NPC

Posted 2020-08-27 ljh2000

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本文作者：ljh2000 
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Description

小N最近在研究NP完全问题，小O看小N研究得热火朝天，便给他出了一道这样的题目：

有n个球，用整数1到n编号。还有m个筐子，用整数1到m编号。

每个筐子最多能装3个球。

每个球只能放进特定的筐子中。具体有e个条件，第i个条件用两个整数vi和ui描述，表示编号为vi的球可以放进编号为ui的筐子中。

每个球都必须放进一个筐子中。如果一个筐子内有不超过1个球，那么我们称这样的筐子为半空的。

求半空的筐子最多有多少个，以及在最优方案中，每个球分别放在哪个筐子中。

小N看到题目后瞬间没了思路，站在旁边看热闹的小I嘿嘿一笑：“水题！”

然后三言两语道出了一个多项式算法。

小N瞬间就惊呆了，三秒钟后他回过神来一拍桌子：

“不对！这个问题显然是NP完全问题，你算法肯定有错！”

小I浅笑：“所以，等我领图灵奖吧!”

小O只会出题不会做题，所以找到了你——请你对这个问题进行探究，并写一个程序解决此题。

 

Input

第一行包含1个正整数T，表示有T组数据。

对于每组数据，第一行包含3个正整数n,m,e，表示球的个数，筐子的个数和条件的个数。

接下来e行,每行包含2个整数vi,ui，表示编号为vi的球可以放进编号为ui的筐子。

Output

 对于每组数据，先输出一行，包含一个整数，表示半空的筐子最多有多少个。

Sample Input

1
4 3 6
1 1
2 1
2 2
3 2
3 3
4 3

Sample Output

2

HINT

 

 对于所有数据，T≤5，1≤n≤3m。保证 1≤vi≤n,1≤ui≤m，且不会出现重复的条件。

保证至少有一种合法方案,使得每个球都放进了筐子,且每个筐子内球的个数不超过 3。

M<=100

 

 

正解：建图+一般图最大匹配（带花树）

解题报告：

　　这道题明明是一道巧妙建图+一般图最大匹配的模板题，出题人强行卖萌居然说是NPC算法...

　　我才不会说我学带花树之前也真以为这道题是NPC算法呢...

　　显然这道题和一般图的最大匹配有关，但是有一定的限制，所以关键在于如何建图，才能使得求出放球的数量<=1的框的数量。

　　先讲一讲各个部分分吧...

 

　　算法一：

　　　　测试点1、2范围很小，暴搜即可；

 

　　算法二：

　　　　当e=nm的时候即每个球都可以放在任意一个框中，那么答案唯一确定，方案的话只要先每个放一个，再一个一个放满，这样构造即可得到最优；

 

　　算法三：

　　　　测试点4说，存在方案使得m个框均为半空，那么即每个框确保可以最多放一个球，直接连边跑二分图匹配即可；

 

　　算法四：

　　　　不存在有半空的框的方案，即每一个框都至少有2个球，则把每个框拆成三个跑二分图匹配即可。

 

　   最后讲正解辣：把每个框拆成三个，这三个之间互相连边，每个能放入这个框的球再与这三个拆掉的点连边，跑一般图最大匹配，带花树跑完之后得到全图的最大匹配，答案即为$maxMatch-n$。

　　这是为什么呢？

　　建图之后，经过观察，对于一个框而言：假如不放球，则最大匹配为1；放入一个球时，最大匹配为2；放入两个球时，最大匹配为2；放入三个球时，最大匹配为3。

　　容易发现对于每个框而言，不妨设这个框内放的球数为num，那么maxMatch-num即为这个框产生的贡献。这题的关键在于建图，建图好神奇好巧妙啊QAQ。不过我对于带花树的模板还不够熟练，还是要花时间多看一下，加深理解。

　　ps：这道题有一个很关键的问题：就是我必须从N for到1！我必须先匹配球！因为我需要保证球先被匹配，如果我先匹配框的话的确可以保证总匹配数不变，但是有一些框就和另一些框匹配了，而球却落单了。这个问题如果不注意的话只有40分... 

 

 

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#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 1211;
const int MAXM = 1000011;
int N,n,m,E,ecnt,first[MAXN],to[MAXM],next[MAXM],match[MAXN],pre[MAXN],vis[MAXN],Tim,dui[MAXM],head,tail,id[MAXN],Match,father[MAXN],ans;
inline void link(int x,int y){ next[++ecnt]=first[x]; first[x]=ecnt; to[ecnt]=y; next[++ecnt]=first[y]; first[y]=ecnt; to[ecnt]=x; }
inline int find(int x){ if(father[x]!=x) father[x]=find(father[x]); return father[x]; }
inline int getint(){
    int w=0,q=0; char c=getchar(); while((c<\'0\'||c>\'9\') && c!=\'-\') c=getchar();
    if(c==\'-\') q=1,c=getchar(); while (c>=\'0\'&&c<=\'9\') w=w*10+c-\'0\',c=getchar(); return q?-w:w;
}

inline int lca(int x,int y){
	Tim++;
	while(vis[x]!=Tim) {
		if(x){
			x=find(x);
			if(vis[x]==Tim) return x;
			vis[x]=Tim;
			if(match[x]!=0) x=find(pre[match[x]]);//!!!
			else x=0;
		}
		swap(x,y);
	}
	return x;
}

inline void change(int x,int y,int k){
	while(find(x)!=k) {
		pre[x]=y; int z=match[x];//!!!
		if(id[z]==1) { id[z]=0; dui[++tail]=z; }
		if(find(z)==z) father[z]=k;
		if(find(x)==x) father[x]=k;
		y=z; x=pre[y];
	}
}

inline bool bfs(int s){
	for(int i=1;i<=N;i++) id[i]=-1,father[i]=i; head=tail=0;
	dui[++tail]=s; id[s]=0; int u;
	while(head<tail) {
		head++; u=dui[head];
		for(int i=first[u];i;i=next[i]) {
			int v=to[i];
			if(id[v]==-1) {
				pre[v]=u; id[v]=1;
				if(!match[v]) {
					int last,t,now=v;
					while(now!=0) {
						t=pre[now];	last=match[t]; 
						match[t]=now; match[now]=t;
						now=last;
					}
					return true;
				}
				id[match[v]]=0; dui[++tail]=match[v];
			}
			else if(id[v]==0/*!!!*/ && find(u)!=find(v)) {
				int g=lca(u,v);
				change(u,v,g);
				change(v,u,g);
			}
		}
	}
	return false;
}

inline void work(){
	int T=getint(); int x,y;
	while(T--) {
		n=getint(); m=getint(); E=getint(); ecnt=0; memset(first,0,sizeof(first));
		for(int i=1;i<=E;i++) {
			x=getint(); y=getint(); x+=3*m;
			link(x,(y-1)*3+1);
			link(x,(y-1)*3+2);
			link(x,(y-1)*3+3);
		}
		for(int i=1;i<=m;i++) {//每个框内部连边
			int base=(i-1)*3+1;
			link(base,base+1);
			link(base,base+2);
			link(base+1,base+2);
		}		
		N=n+3*m; memset(match,0,sizeof(match)); memset(pre,0,sizeof(pre));
		Tim=0; memset(vis,0,sizeof(vis)); Match=0;//!!!
		for(int i=N;i>=1;i--) if(!match[i] && bfs(i)) Match++;
		ans=Match-n;
		printf("%d\\n",ans);
	}
}

int main()
{
    work();
    return 0;
}