ACM—Number Sequence（HDOJ1005）

Posted 2020-08-27 PerKins Zhu

原题链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1005 

主要内容：

　　A number sequence is defined as follows:

　　f(1) = 1, f(2) = 1, f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) mod 7.

　　Given A, B, and n, you are to calculate the value of f(n).

看到这样的公式很容易想到递归调用求解，但是在本题中n的取值范围：1<n>100000000，因此很容易报出栈溢出。因此，递归放弃。

然后便考虑到通过1 to n通过for循环进行求解。代码如下：

public void test1005(){
    Scanner in = new Scanner(System.in);
    while (in.hasNext()) {
        int A = in.nextInt();
        int B = in.nextInt();
        int n = in.nextInt();
        if (A == 0 && B == 0 && n == 0) {
            return;
        }
        int sum = 0;
        int sumPre2 = 1;
        int sumPre1 = 1;
        if(n<3){
            System.out.println(1);
            continue;
        }
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            sum = ((A * sumPre1) + (B * sumPre2)) % 7;
            sumPre2 = sumPre1;
            sumPre1 = sum;
        }
        System.out.println(sum);
    }
}

没有了深层的递归，栈溢出问题解决了，但是在提交之后总是Time Limit Exceeded,没办法换新方法。

想来想去没想到，最终看到acmer谈到在49次之后会发生循环，具体代码如下：

public static void test1005_02(String[] args) {
    Scanner in = new Scanner(System.in);
    while (in.hasNext()) {
        int A = in.nextInt();
        int B = in.nextInt();
        int n = in.nextInt();
        if (A == 0 && B == 0 && n == 0) {
            return;
        }
        int[] sum = new int[49];
        sum[1] = sum[2] = 1;
        for (int i = 3; i < 49; i++)
            sum[i] = ((A * sum[i - 1]) + (B * sum[i - 2])) % 7;
            System.out.println(sum[n % 49]);
    }
}

 AC通过，便想为何会发生循环？

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对7求摩决定了sum[i]的范围必定在0~6之间。然后又因为在A和B确定的前提下，sum[i]的值由sum[i-1]和sum[i-2]来决定的。

sum[i-1]和sum[i-2]的组合情况最多有7*7=49种。所有的组合情况必定在这49种范围内找到相同的。

需要注意的是，由于A和B的不同，在循环体中可能并不一定包含49种各种情况，可能只有部分情况包含在循环体内。如：

14种情况包含在循环体内（A=5，B=6）

4、5、0、2、3、6、6、3、2、0、5、4、1、1、4、5、0、2、3、6、6、3、2、0、5、4、1、1、4、5、0、2、3、6、6、3、2、0、5、4、1、1、4、5、0、2、3、6、
6、3、2、0、5、4、1、1、4、5、0、2、3、6、6、3、2、0、5、4、1、1、4、5、0、2、3、6、6、3、2、0、5、4、1、1、4、5、0、2、3、6、6、3、2、0、5、4、

 16种情况包含在循环体内(A=1，B=1)

2、3、5、1、6、0、6、6、5、4、2、6、1、0、1、1、2、3、5、1、6、0、6、6、5、4、2、6、1、0、1、1、2、3、5、1、6、0、6、6、5、4、2、6、1、0、1、1、
2、3、5、1、6、0、6、6、5、4、2、6、1、0、1、1、2、3、5、1、6、0、6、6、5、4、2、6、1、0、1、1、2、3、5、1、6、0、6、6、5、4、2、6、1、0、1、1、

44种情况包含在循环体内(A=89564，B=185421)

4、1、5、0、4、3、3、5、3、1、0、5、2、2、1、2、3、0、1、6、6、3、6、2、0、3、4、4、2、4、6、0、2、5、5、6、5、4、0、6、1、1、4、1、5、0、4、3、
3、5、3、1、0、5、2、2、1、2、3、0、1、6、6、3、6、2、0、3、4、4、2、4、6、0、2、5、5、6、5、4、0、6、1、1、4、1、5、0、4、3、3、5、3、1、0、5、

 至于哪种情况会把49种全部包括就不知道了，但是可以肯定的是，这49个数中循环体的个数必定大于等于1。

 所以在进行求和处理的时候对49进行了取摩  sum[n % 49]。