bzoj 2075: [POI2004]KAG

Posted 2020-08-27 AωD!

整天鬼畜题搞搞，感觉药丸……

这种题出到xjoi模拟题里，太神了……

 

这题的核心在于分割Cograph，尝试把Cograph的合成过程给求出来。

 

我们将这张图中的边为黑边，在这张图的补图中出现的边为白边，则黑边和白边构成了一个完全图。

1.如果当前这张图的黑边是不联通的，那么可以检查所有的黑边构成的联通块是不是Cograph，如果都是Cograph，则原图也为Cograph

2.如果当前这张图的白边是不联通的，那么可以检查所有的白边构成的联通块是不是Cograph，如果都是Cograph，则原图也为Cograph

 

3.如果当前这张图中的白边黑边都是联通的，直接返回该图不是Cograph

 

这样做显然是正确的，但是时间复杂度太高了，每次划分的复杂度是\(O(m)\)的，由于白边有\(O(n^2)\)条，因此这个做法也是\(O(n^2)\)

 

显然是会爆炸……

考虑优化这个做法，我们并不需要枚举所有白边，当找到一条白边时，就将它所连接的两个白联通块合并，合并次数是\(O(n)\)的

因此需要一种支持快速 合并联通块、查询一个联通块到另一个联通块之间所有边的数据结构……

 

这里用链表维护联通块……（为什么不用并查集？因为我要访问该联通块所有的点

 

这样就可以保证每次查询的边一定是不在当前同一个联通块中，

查询的两个点间要么是黑边要么是白边，黑边只有\(O(m)\)条，由于只有\(O(n)\)次合并，因此扫到的白边只有\(O(n)\)条，时间复杂度是\(O(n + m)\)的

 

这样对于一个问题，只需要\(O(n + m)\)就可以把它变成若干个小原问题了。

 

由于Cograph每层的分割至少有\(O(n)\)条连接在白联通块之间的黑边被删除了，因此这样分割的层数是\O(min(m / n, n)\)的

 

总时间复杂度\O((n + m)\sqrt(n)\)

跑的稍微有点慢啊~

#include <bits/stdc++.h>
#define N 300000
using namespace std;
  
vector <int> bi[N], bn[N];
int T, n, m;
int ai[N];
int nx[N], ne[N], nl[N], tot;
int vis[N], td[N], tt[N], col[N];
int tmp;
void dfs1(int t, int c)
{
    vis[t] = c;
    for (int i = 0; i < bi[t].size(); ++ i)
        if (!vis[bi[t][i]]) dfs1(bi[t][i], c);
}
int solve2(int t);
int solve1(int t)
{
    int nw = tmp + 1;
    for (int p = t; p; p = nx[p]) vis[p] = 0;
    for (int p = t; p; p = nx[p])
        if (!vis[p])
            dfs1(p, vis[p] = ++ tmp);
    for (int p = t; p; p = nx[p])
    {
        if (!tt[vis[p]]) tt[vis[p]] = td[vis[p]] = p;
        else
        {
            nx[td[vis[p]]] = p;
            td[vis[p]] = p;
        }
    }
    for (int i = nw; i <= tmp; ++ i)
    {
        nx[td[i]] = 0;
        if (!solve2(tt[i])) return 0;
    }
    return 1;
}
set <int> S[N];
int test(int a, int b)
{
    return S[a].count(b);
}
int solve2(int t)
{
    if (nx[t] == 0) return 1;
    for (int p = t; p; p = nx[p]) ne[p] = nx[p], nl[p] = p;
    for (int p = t; p; p = ne[p]) nx[p] = 0;
      
    for (int p = t; p; p = ne[p])
    {
        for (int a = p; a; a = nx[a])
        {
            for (int q = ne[p], c = p; q; )
            {
                int bo = 0;
                for (int b = q; b; b = nx[b])
                    if (!test(a, b))
                    {
                        bo = 1;
                        goto haha;
                    }
                haha:
                if (bo)
                {
                    nx[nl[p]] = q;
                    nl[p] = nl[q];
                    nl[q] = 0;
                      
                    ne[c] = ne[q];
                    ne[q] = 0;
                    q = ne[c];
                }
                else
                {
                    c = ne[c];
                    q = ne[q];
                }
            }
        }
    }
    if (ne[t] == 0) return 0;
    for (int p = t; p; p = ne[p])
        for (int q = p; q; q = nx[q])
            col[q] = p, bn[q].clear();
          
    for (int p = t; p; p = ne[p])
        for (int q = p; q; q = nx[q])
            for (int a = 0; a < bi[q].size(); ++ a)
                if (col[bi[q][a]] == col[q]) bn[q].push_back(bi[q][a]);
      
    for (int p = t; p; p = ne[p])
        for (int q = p; q; q = nx[q])
            bi[q] = bn[q];
      
    vector <int> nls;
    for (int p = t; p; p = ne[p]) nls.push_back(p);
    for (int p = 0; p < nls.size(); ++ p)
        if (!solve1(nls[p])) return 0;
    return 1;
}
int main()
{
    //freopen("C.in", "r", stdin);
    scanf("%d", &T);
    while (T --)
    {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        for (int i = 1; i <= m; ++ i)
        {
            int a, b;
            scanf("%d%d", &a, &b);
            bi[a].push_back(b); S[a].insert(b);
            bi[b].push_back(a); S[b].insert(a);
        }
        for (int i = 1; i < n; ++ i) nx[i] = i + 1, ne[i] = 0;
        nx[n] = 0;
        if (solve1(1)) puts("TAK"); else puts("NIE");
          
        for (int i = 1; i <= n; ++ i) bi[i].clear(), S[i].clear();
    }
}