CodeForces - 123E Maze

Posted 2020-08-26 Sky_miner

http://codeforces.com/problemset/problem/123/E

题目翻译:（翻译来自: http://www.cogs.pw/cogs/problem/problem.php?pid=1734）

一个迷宫是一棵树（即一张无向图，其中任意两点之间仅有一条路径）。迷宫的起点和终点都按照某种概率随机选取。人们会在迷宫中用深度优先搜索的方法搜寻终点。如果有许多条可能的路径，会等概率地选取一条。考虑如下伪代码：

DFS(x)

    if x == exit vertex then

        finish search

    flag[x] <- TRUE

    random shuffle the vertices‘ order in V(x) // here all permutations have equal probability to be chosen

    for i <- 1 to length[V] do

        if flag[V[i]] = FALSE then

            count++;

            DFS(y);

    count++;

V(x)是和x相邻的顶点列表。最初flag数组的值均为false。第一次DFS的参数是迷宫的入口节点。当搜索终止，变量count的值就是在迷宫中走的步数。

你的任务是计算在迷宫中从入口到出口，所走的期望步数。

题解：

  首先一看知道题就知道应该去求每个点对答案的贡献

现在考虑如何求出这个贡献。

我们发现如果我们单独枚举一个点，那么这个点的情况一共有三种:

1.必定被经过?

 2.必定不被经过

 3.不一定被经过

这样就不好统计了，所以我们先转换一下思维

怎样才能准确的找出经过的路径？ 最直接的方法就是暴力枚举所有的起点和终点

这样路径就唯一确定了，直接在这个图中求一边期望，然后加权求和

可是 n <= 10^5，暴力肯定无法通过，但是有值得我们借鉴的思维

 

枚举端点

我们可以枚举终点，这样情况就分成了。。。还是三种:

 1.起点就是终点，贡献为0，该情况可以忽略

 2.起点在以终点为根的子树中

 3.起点不在以终点为根的子树中

对于第二种情况，我们可以直接计算贡献，即(子树的节点数目*子树中有一个点作为入口的概率)

对于第三种情况，我们也可以直接计算的，即(除去子树后树的节点数目*除去子树后树中存在入口的概率)

为什么能这么计算呢？

我们考虑一下，如果根的某一个儿子是入口，那么贡献应为0.5*siz[v]*2

我们发现，如果一条路径经过n个点两次后到达出口，那么对答案的贡献即为(n<<1)

我们可以这么想，把题目中给的伪代码改动一下，那么每次到达一个点++count,退出一个点++count

最后再--count，这样就是这条路径对答案的贡献。

所以，我们直接刨去到达终点时对答案做出的贡献，那么就可以得到刚才的式子了

我们考虑进行推广，发现所有的点都满足这个式子

所以我们可以直接对若干个点直接加和，那么就是上面提到的计算方式了

O(n)

Code

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <algorithm>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 inline void read(int &x){
 7 x=0;char ch;bool flag = false;
 8 while(ch=getchar(),ch<‘!‘);if(ch == ‘-‘) ch=getchar(),flag = true;
 9     while(x=10*x+ch-‘0‘,ch=getchar(),ch>‘!‘);if(flag) x=-x;
10 }
11 inline int cat_max(const int &a,const int &b){return a>b ? a:b;}
12 inline int cat_min(const int &a,const int &b){return a<b ? a:b;}
13 const int maxn = 100010;
14 struct Edge{
15     int to,next;
16 }G[maxn<<1];
17 int head[maxn],cnt;
18 void add(int u,int v){
19     G[++cnt].to = v;
20     G[cnt].next = head[u];
21     head[u] = cnt;
22 }
23 int siz[maxn],ex[maxn],en[maxn];
24 int fa[maxn],n;
25 ll sn=0,sx=0,ans = 0;
26 #define v G[i].to
27 void dfs(int u){
28     siz[u] = 1;
29     for(int i = head[u];i;i=G[i].next){
30         if(v == fa[u]) continue;
31         fa[v] = u;
32         dfs(v);
33         siz[u] += siz[v];
34         en[u] += en[v];
35         ans += 1LL*ex[u]*en[v]*siz[v];
36     }ans += 1LL*ex[u]*(sn - en[u])*(n - siz[u]);
37 }
38 #undef v
39 int main(){
40     read(n);
41     for(int i=1,u,v;i<n;++i){
42         read(u);read(v);
43         add(u,v);add(v,u);
44     }
45     for(int i=1;i<=n;++i){
46         read(en[i]),read(ex[i]);
47         sn += en[i];sx += ex[i];
48     }dfs(1);
49     printf("%.60lf\n",(double)ans/(1.0*sn*sx) );
50     getchar();getchar();
51     return 0;
52 }