BZOJ 2286 消耗战 (虚树+树形DP)

Posted 2020-08-26 freeloop

给出一个n节点的无向树，每条边都有一个边权，给出m个询问，
每个询问询问ki个点，问切掉一些边后使得这些顶点无法与顶点1连接。
最少的边权和是多少。
(n<=250000,sigma(ki)<=500000)

考虑树形DP，我们令mn[i]表示i节点无法与1节点相连切除的最小权值。
显然有mn[i]=min(E(fa,i),mn[fa]).
大致就是i到1的简单路径上的最小边。
我们对于每个询问。把询问的点不妨称为关键点。
令dp[i]表示i节点不能与子树的关键点连接切掉的最小权值。
那么有，如果son[i]是关键点，则dp[i]+=E(i,son(i)).
如果son[i]不是关键点，则dp[i]+=min(dp[son(i)],E(i,son(i))).

考虑最坏每次只询问一个点，则复杂度为O(n*sigma(ki)).显然无法承受。

我们观察到sigma(ki)有限制，这启发了我们构造一颗新树，这棵树称为虚树。
我们把每个节点和每对节点的lca单独拉出来模仿原来的树的形态构造一颗虚树。
这样再在这颗新树上进行树形DP。

构造这棵树的核心思想是每次维护一条最右边的链。
首先把关键点按dfs序排序。
然后相邻的点取lca。
再单调栈维护一下最右边的链就ok啦。

# include <stdio.h>
# include <string.h>
# include <stdlib.h>
# include <iostream>
# include <vector>
# include <queue>
# include <stack>
# include <map>
# include <math.h>
# include <algorithm>
using namespace std;
# define lowbit(x) ((x)&(-x))
# define pi acos(-1.0)
# define MAXN 250005
# define eps 1e-5
# define MAXM 500001
# define MOD 1000000007
# define INF 1000000000
# define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
# define FOR(i,a,n) for(int i=a; i<=n; ++i)
# define FO(i,a,n) for(int i=a; i<n; ++i)
# define bug puts("H");
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
int _MAX(int a, int b){return a>b?a:b;}
int _MIN(int a, int b){return a>b?b:a;}
int Scan() {
    int res=0, flag=0;
    char ch;
    if((ch=getchar())==\'-\') flag=1;
    else if(ch>=\'0\'&&ch<=\'9\') res=ch-\'0\';
    while((ch=getchar())>=\'0\'&&ch<=\'9\')  res=res*10+(ch-\'0\');
    return flag?-res:res;
}
void Out(int a) {
    if(a<0) {putchar(\'-\'); a=-a;}
    if(a>=10) Out(a/10);
    putchar(a%10+\'0\');
}

struct Edge{int p, next, w;}edge[MAXN<<1];
int head[MAXN], cnt=1, bin[20], ind;
int id[MAXN], dep[MAXN], fa[MAXN][20], h[MAXN], st[MAXN], top;
LL ans[MAXN], dp[MAXN];

void add_edge(int u, int v, int w)
{
    if (u==v) return ;
    edge[cnt].p=v; edge[cnt].next=head[u]; edge[cnt].w=w; head[u]=cnt++;
}
void bin_init(){bin[0]=1; FO(i,1,20) bin[i]=bin[i-1]<<1;}
bool comp(int a, int b){return id[a]<id[b];}
void dfs(int x, int fat)
{
    id[x]=++ind;
    fa[x][0]=fat;
    for (int i=1; bin[i]<=dep[x]; ++i) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
    for (int i=head[x]; i; i=edge[i].next) {
        int v=edge[i].p;
        if (v==fat) continue;
        dep[v]=dep[x]+1;
        ans[v]=min(ans[x],(LL)edge[i].w);
        dfs(v,x);
    }
}
int lca(int x, int y)
{
    if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    int t=dep[x]-dep[y];
    for (int i=0; bin[i]<=t; ++i) if (bin[i]&t) x=fa[x][i];
    for (int i=19; i>=0; --i) if (fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i], y=fa[y][i];
    if (x==y) return x;
    else return fa[x][0];
}
void dp_dfs(int x)
{
    dp[x]=ans[x];
    LL temp=0;
    for (int i=head[x]; i; i=edge[i].next) {
        int v=edge[i].p;
        dp_dfs(v);
        temp+=dp[v];
    }
    head[x]=0;
    if (temp) dp[x]=min(dp[x],temp);
}
void sol()
{
    int k, tot=0;
    cnt=1;
    scanf("%d",&k);
    FOR(i,1,k) h[i]=Scan();
    sort(h+1,h+k+1,comp);
    h[++tot]=h[1];
    FOR(i,2,k) if (lca(h[tot],h[i])!=h[tot]) h[++tot]=h[i];
    st[++top]=1;
    FOR(i,1,tot) {
        int f=lca(h[i],st[top]);
        while (dep[f]<dep[st[top-1]]) add_edge(st[top-1],st[top],0), top--;
        add_edge(f,st[top--],0);
        if (f!=st[top]) st[++top]=f;
        st[++top]=h[i];
    }
    while (top>1) add_edge(st[top-1],st[top],0), top--;
    dp_dfs(1);
    printf("%lld\\n",dp[1]);
}
int main()
{
    int n, m, u, v, w;
    bin_init();
    n=Scan();
    FO(i,1,n) u=Scan(), v=Scan(), w=Scan(), add_edge(u,v,w), add_edge(v,u,w);
    ans[1]=(LL)1<<60; dfs(1,0);
    m=Scan();
    mem(head,0);
    while (m--) sol();
    return 0;
}

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