[bzoj1670][Usaco2006 Oct]Building the Moat

Posted 2020-08-26 Aireen Ye

Description

为了防止口渴的食蚁兽进入他的农场，$Farmer John$决定在他的农场周围挖一条护城河。农场里一共有$N$股泉水，并且，护城河总是笔直地连接在河道上的相邻的两股泉水。护城河必须能保护所有的泉水，也就是说，能包围所有的泉水。泉水一定在护城河的内部，或者恰好在河道上。当然，护城河构成一个封闭的环。 挖护城河是一项昂贵的工程，于是，节约的$FJ$希望护城河的总长度尽量小。请你写个程序计算一下，在满足需求的条件下，护城河的总长最小是多少。

所有泉水的坐标都在范围为$(1..10^7,1..10^7)$的整点上，一股泉水对应着一个唯一确定的坐标。并且，任意三股泉水都不在一条直线上。

以下是一幅包含$20$股泉水的地图，泉水用$"*"$表示。

图中的直线，为护城河的最优挖掘方案，即能围住所有泉水的最短路线。

路线从左上角起，经过泉水的坐标依次是：$(18,0)$,$(6,-6)$,$(0,-5)$,$(-3,-3)$,$(-17,0)$,$(-7,7)$,$(0,4)$,$(3,3)$。绕行一周的路径总长为$70.8700576850888...$。答案只需要保留两位小数，于是输出是$70.87$。

Input

第$1$行:一个整数$N$。

第$2..N+1$行:每行包含$2$个用空格隔开的整数，$x[i],y[i]$，即第$i$股泉水的位置坐标。

Output

一行一个数字，表示满足条件的护城河的最短长度。保留两位小数。

Sample Input

20
2 10
3 7
22 15
12 11
20 3
28 9
1 12
9 3
14 14
25 6
8 1
25 1
28 4
24 12
4 15
13 5
26 5
21 11
24 4
1 8

Sample Output

70.87

HINT

$8\;\leq\;N\;\leq\;5000$.

Solution

求凸包周长.

#include<set> 
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 5005
#define eps 1e-11
using namespace std;
struct point{
    int x,y;double t;
}a[N],v[N];
int n,u,vn;
inline double sqr(int k){
    return (double)(k*k);
}
inline point dec(point x,point y){
    return (point){x.x-y.x,x.y-y.y,0.0};
}
inline int mult(point x,point y){
    return x.x*y.y-y.x*x.y;
}
inline double dis(point x,point y){
    return sqrt(sqr(abs(x.x-y.x))+sqr(abs(x.y-y.y)));
}
inline bool cmp(point x,point y){
    if(fabs(x.t-y.t)<eps)
        return dis(x,a[1])>dis(y,a[1]); 
    return x.t<y.t;
} 
inline void convex(){
    u=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if((a[i].x<a[u].x)||(a[i].x==a[u].x&&a[i].y<a[u].y)) u=i;
    a[0]=a[u];a[u]=a[1];a[1]=a[0];
    for(int i=2;i<=n;i++)
        a[i].t=atan2(a[i].y-a[1].y,a[i].x-a[1].x);
    sort(a+2,a+1+n,cmp);
    v[++vn]=a[1];v[++vn]=a[2];a[++n]=a[1];
    for(int i=3;i<=n;i++){
        if(fabs(a[i].t-a[i-1].t)<eps)
            continue;
        while(vn>1&&mult(dec(a[i],v[vn-1]),dec(v[vn],v[vn-1]))>0) vn--;
        v[++vn]=a[i];
    }
}
inline double cir(){
    double ret=0;
    for(int i=2;i<=vn;i++)
        ret+=dis(v[i],v[i-1]);
    return ret;
} 
inline void init(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
    convex();
    printf("%.2lf\n",cir()); 
}
int main(){
    freopen("convex.in","r",stdin);
    freopen("convex.out","w",stdout);
    init();
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}