codeforces 83 D. Numbers

Posted 2020-08-26 c

题意：

给出l,r,k，(1?≤?l?≤?r?≤?2·10⁹,?2?≤?k?≤?2·10⁹)

求在区间[l,r]内有多少个数i满足 k | i,且[2,k-1]的所有数都不可以被i整除

 

首先，如果k不是素数的话，答案肯定是0

考虑k是素数：

fir[i]保存i的第一个素因子，fir[]可以在线性筛的时候得到

我们先把N以内的数线性筛出来

所以其实就是求：

[l,r]中满足fir[i] = k 的i的个数

[l,r] = [1,r] - [1,l-1]

所以现在我们要求的就是：

[1,r]中满足fir[i] = k 的i的个数，也就是

[1,r/k]中满足fir[i] >= k 或 i = 1的i的个数

n = r / k

如果n <N，直接遍历fir,统计fir[i] >= k || i == 1 的i的个数

如果n >= N,就相当于要把[1,n]中2的倍数，3的倍数，等小于k的素数的倍数筛去

dfs搜，容斥，考虑到2 * 3 * ... * 23 * 29 > 2 * 10^9，所以复杂度不会很大

这个套路也很喜闻乐见

 

代码：

                                            
  //File Name: cf83D.cpp
  //Created Time: 2017年01月04日 星期三 22时48分56秒
                                   
#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int MAXN = 30000000 + 1;
bool check[MAXN];
int prime[2000000],fir[MAXN],tot;
LL ans,n;
int ma;
void init(){
    tot = 0;
    memset(check,false,sizeof(check));
    for(int i=2;i<MAXN;++i){
        if(!check[i]){
            prime[tot++] = i;
            fir[i] = i;
        }
        for(int j=0;j<tot;++j){
            if((LL)i * prime[j] >= MAXN) break;
            check[i * prime[j]] = true;
            fir[i * prime[j]] = prime[j];
            if(i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
//    printf("tot = %d\n",tot);
}
bool is_prime(LL k){
    if(k < MAXN)
        return fir[k] == k;
    for(int i=0;i<tot;++i){
        if(1LL * prime[i] * prime[i] > k) break;
        if(k % prime[i] == 0) return false;
    }
    return true;
}
void dfs(int p,LL now,LL f){
    if(now > n) return ;
    if(p > ma){
        ans += f * (n / now);
        return ;
    }
    dfs(p+1,now,f);
    dfs(p+1,now * prime[p],-f);
}
LL cal(LL r,LL k){
    ans = 0;
    n = r / k;
    if(n < MAXN){
        for(int i=1;i<=n;++i){
            if(i == 1 || fir[i] >= k) 
                ++ans;
        }
        return ans;
    }
    else{
        ma = 0;
        for(;ma<tot;++ma){
            if(prime[ma] == k)
                break;
        }
        --ma;
        dfs(0,1,1);
        return ans;
    }
}
LL solve(LL l,LL r,LL k){
    if(!is_prime(k)) return 0;
    return cal(r,k) - cal(l - 1,k);
}
int main(){
    init();
//    while(cin >> n){
//        cout << fir[n] << endl;
//    }
    LL l,r,k;
    cin >> l >> r >> k;
    cout << solve(l,r,k) << endl;
    return 0;
}