BZOJ4350: 括号序列再战猪猪侠

Posted nhc2014

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了BZOJ4350: 括号序列再战猪猪侠相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

Description

括号序列与猪猪侠又大战了起来。
众所周知,括号序列是一个只有(和)组成的序列,我们称一个括号
序列S合法,当且仅当:
1.( )是一个合法的括号序列。
2.若A是合法的括号序列,则(A)是合法的括号序列。
3.若A,B是合法的括号序列,则AB是合法的括号序列。
我们考虑match[i]表示从左往右数第i个左括号所对应的是第几个右
括号,现在他得到了一个长度为2n的括号序列,给了你m个信息,第i
个信息形如ai,bi,表示match[ai]<match[bi],要你还原这个序列。
但是你发现这个猪猪侠告诉你的信息,可能有多个括号序列合法;甚
至有可能告诉你一个不存在合法括号序列的信息!
你最近学了取模运算,你想知道答案对998244353(7*17*2^23+1)取
模的结果,这个模数是一个质数。

Input

第一行一个正整数T,T< = 5,表示数据组数。
对于每组数据,第一行一个n,m,n表示有几个左括号,m表示信息数。
接下来m行,每行两个数ai,bi,1< = ai,bi< = n。

Output

对于每组数据,输出一个数表示答案。

Sample Input

5
1 0
5 0
3 2
1 2
2 3
3 2
2 1
2 3
3 3
1 2
2 3
3 1

Sample Output

1
42
1
2
0

HINT

 对于前两个点,是卡特兰数的情况。

对于第三个点,合法的情况只可能是 ()()()。
对于第四个点,合法情况可能是 (()()) 或者 (())()、
对于第五个点,由于拓扑关系形成了环,显然无解。
对于 100% 的数据,保证 n < = 300
题解:如果matcha[ai]<match[bi],那么为了序列能合法,若ai<bi,ai所对应的右括号也一定在bi的左边,若ai>bi,ai和它所对应的右括号,一定被bi所对应的的括号包在中间,我们来考虑一下括号有几种可能吧,很显然有(AB),()AB,{AB()可看做同种情况},(A)B,这三种方案,我们枚举一个区间的左括号,f[i][j]表示第i个左括号到第j个左括号能形成多少种方案。
   1.如果要符合上面的第一种方案,那么很明显第i个左括号和它对应的右括号不能完全在AB的左边,即第i个左括号对第i+1到j之间的左括号不能有任何一个被提出过match[i]<match[i+1~j],如果符合的话我们就加上f[i+1][j]。
   2.如果要符合第二种方案,那么第i个左括号和它对应的右括号必须完全在AB的左边,即第i个左括号对第i+1到j之间的左括号必须每个都被提出过match[i]<match[i+1~j],等同于第i+1~j之间的括号对第i个括号没有被提出过match[i+1~j]<match[i],如果符合的话我们就加上f[i+1][j]。
   3.如果要符合第三种我们就要进行枚举了,因为我们不知道B序列最右边的左括号是总序列中的第几个括号。枚举一个k来表示A中的最后一个左括号,则B中的开头左括号为k+1,我们要如何满足这种条件呢?有两个注意点,(1).k+1到j的括号必须全部都在i~k括号的右边。(2).i+1~k括号必须包含在第i个括号中,即第i个括号不能在他们的右边。
只要满足注意点,它的方案数就可加上两边的乘积。
最最重要的一点来了,我们如何去判断括号在左边右边呢?不要说去一个个枚举。。。我们用一个s数组来储存关系,若match[ai]<match[bi],则s[ai][bi]赋值为1,反之,赋值为0,假设我们现在需要第a~b个左括号全部都在第c~d个括号包括对应的右括号的右边就是说任何一个s[ai~bi][ci~di]都需要为0,那么实际上我们只要知道一个左上角为a,b,右下角为c,d的矩阵中的元素为0,就可以了。那么判断的时候我们只需要用矩阵前缀和就可以用O(1)的复杂度算出矩阵的值从而判断左右关系。
大概就是这样了,具体程序看吧。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
int j,n,m,t,x,y,s[500][500];
long long f[500][500];//一定要记得开long long,否则。。。
int kk=998244353;
int check(int a,int b,int c,int d)
{
    return (s[c][d]-s[c][b-1]-s[a-1][d]+s[a-1][b-1]);
}
void work()
{   
        memset(s,0,sizeof(s));//记得清空
    memset(f,0,sizeof(f));    
    cin>>n>>m;
    for (int i=1;i<=m;i++) 
    {
      
      cin>>x>>y;
      s[x][y]=1;//记录对应的关系
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
     for (int j=1;j<=n;j++)
     s[i][j]=s[i][j]+s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];//矩阵前缀和
    for (int i=1;i<=n;i++)
    if (check(i,i,i,i)==1)//如果自身对自身有所限制的话,那么这种情况是不存在的,可以直接输出0.
    {
        printf("0\n");
        return;
    } 
    for (int i=1;i<=n;i++) f[i][i]=1;//构成单个括号的可能性只有一种
    
    for (int len=2;len<=n;len++)
     for (int i=1;i<=n-len+1;i++)
     {
         j=i+len-1;
         if (check(i,i+1,i,j)==0) f[i][j]=(f[i][j]+f[i+1][j])%kk;
         if (check(i+1,i,j,i)==0) f[i][j]=(f[i][j]+f[i+1][j])%kk;
         for (int k=i+1;k<=j-1;k++)
         if ((check(k+1,i,j,k)==0)&&(check(i,i+1,i,k)==0))
         f[i][j]=(f[i][j]+f[i+1][k]*f[k+1][j]%kk)%kk;//这个程序中解释过了
     }
    cout<<f[1][n]<<endl;
}
int main()
{
  cin>>t;
  for (int i=1;i<=t;i++) //多组输入数据
  work();
  return 0; 
}

 

以上是关于BZOJ4350: 括号序列再战猪猪侠的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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UOJ#31 UR #2猪猪侠再战括号序列

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