跟波利亚学解题——一个好习惯

Posted 2020-08-26

4. 一个好习惯

在解题的过程中，除了必要条件——知识储备——之外，对于一些并不涉及什么你不知道的定理的题，很大程度上就要看思维能力或者习惯了。而在思考一个问题的时候，最容易犯的一类错误就是忘了考虑某种可能性，不管这种可能性是另一种做法（譬如只顾着构造一个能一步得出结果的算法，没记得还可以从错误情况逼近。譬如只顾着正着推导，却忘了可以反过来推。只顾着反过来推，居然忘了可以考察简单特例。试了各种手法，却发现忘了考虑题目的某个条件。觉得试遍了所有可能性，已经走不下去了，然后其实在思维的早些时候就已经落入了思维陷阱。等等）事实上，即便是一个熟练的解题者也容易犯顾此失彼的问题，因为我们一旦意识到一个看似能够得到结论的解法，整个注意力就容易被吸引过去，而由于推导的路径是很长的，所以很容易在一条路上走到黑，试图再往下走一步就得出解。却忘了回过头来看看再更高的层面上还有没有其它手法，思路上有没有其他可能性。

而对于像我这样目前尚不谙熟所有思维方法的人来说，则更容易犯这样的错误。为了避免这样的错误，一个有效的办法就是将自己的思考过程（中的重要环节）清晰的写在纸上（称为“看得见的思考”），这有如下几个好处：

• 人在思考一个问题的时候，就像是在黑暗中打着电筒往前走（事实上，我们的工作记忆资源是有限的，有研究证明我们只能在工作记忆里面持有7加减2个项目；此外认知负荷也是有极限的），每一步推导，每一步逻辑或猜测都将我们往前挪一步，然而电筒的光亮能找到的范围是有限的，我们走了几步发现后面又黑了。有时候，我们是如此努力地试图一下就走出很远，同时又老是怕忘记目前已经取得的进展和重要结论，结果意识的微光就在一个很小的范围内打转，始终无法往前走出很远。而将思维过程记录下来，则给了我们完全的回顾机会。如果你是经常做笔记的人，你肯定会发现，有时候一个在脑子里觉得两句话就能说完不需要记下来的东西，一旦开始往纸上写下来，你就自然而然能得出更多的结论和东西，越写越多，最终关于你的问题的所有方面都被推导出来展现在你面前。
• 思考问题时的注意力是自上而下控制大脑的神经处理过程的，当我们集中注意力在某一个过程上时，其它的过程就会受到抑制。我们平常都遇到过一些时候，由于集中注意力从而忽略了周围发生的事情的时候（处理环境输入的神经回路受到抑制）。所以，当我们竭尽全力将一些非常重要的因素控制在工作记忆里面的时候，实际上很大程度上抑制了其余的思考——可以想见如果科比在跳投的瞬间集中注意力思考跳投的各种技术要素的话会发生怎样的灾难。此外，这么做还占用了宝贵的工作记忆空间，从这个意义上，借助于纸笔，将思考的东西写下来实际上就是扩充了我们的工作记忆，增大了思维的缓存。注意，这倒不是说思考问题不需要集中注意力，而是说由于将项目维持在工作记忆中需要很大的认知精力，使得我们的注意力无法暂时移开去思考其它相关的子问题，而写到纸上的话我们就减轻了工作记忆的负担，可以转移注意力去集中思考某个子问题；同时我们又可以随时回过头来，重新将以前想过的结论装入记忆（内存），完全不用费心去阻止它们被我们的工作记忆遗忘。
• 一句话从嘴里说出来，或者写到纸上，被视觉或听觉模块接收，再认知；跟在心里默念所产生的神经兴奋程度是不一样的。我们都有过这样的经历：一句令人不愉快的话，我们心里清楚，但就是不愿意自己也不愿意别人从嘴里说出来。同样，将思考的过程写到纸上，能够激起潜在的更多的联想。为什么会这样的另一个可能的原因是我们大脑中思维过程的呈现形式和纸上的表现形式是不一样的，既没有那么严格、详细也没有那么多的符号（如数学符号）——再一次，工作记忆资源是很有限的——而后者，作为视觉线索，可能激起更多对既有知识的回忆。
• 我们在思考问题的过程中容易落入思维定势，不知不觉就走上来某条“绝大部分时候是如此”的思维捷径，对于一些问题而言这固然能够让我们快速得到解，但对于另一些问题而言却是致命的。我们容易在逻辑的路径上引入想当然的假设，从而排除某种不该排除的可能性或做法。通过将思路过程写到纸上，我们便能够回头细细考察自己的思考过程，觉察到什么地方犯了想当然的毛病。
• 我们在思维过程中的每一个关键的一步也许都有另一种可能性，一个问题越复杂，需要推导的步骤就越多，我们就越容易忽视过程中的其它可能性，容易一条路走到黑。而将思维过程写下来，在走不下去的时候可以回过头看看，也许会发现另一种可能性，另一条“少有人走的路”。
• 最后，通过将思维过程写下来，我们就能够在解题完毕之后完整的回顾自己的整个思维过程，并从中再次体悟那些关键的想法背后所发生的心理活动过程，总结思考中的重要的一般原则，分析思维薄弱的环节，等等。就算是最终发现并没有到达结果的无效思路，也未必就没有意义，因为不是因为错误的思路，也不会知道正确的思路，况且对一道题目用不上的思路，对其它题目未必用不上。通过对自己思维过程的彻底反思，就能从每次解题中获得最多的收获。

 

结论：重要的话说三遍，也从多个角度解释

　　　太长，简洁会更好

　　　就记得一句，脑仁小，请自绘地图，谨防迷路！