游戏程序员的数学食粮05——向量速查表

Posted 2020-08-25 mimime

原文：http://gad.qq.com/program/translateview/7172922

翻译：王成林(麦克斯韦的麦斯威尔)  审校：黄秀美（厚德载物）

 

这是本系列大家盼望已久的第五篇。如果你对向量了解不多，请先查看本系列的前四篇文章：介绍，向量基础，向量的几何表示，向量的运算。

这篇速查表会列举一些游戏中常见的几何问题，以及使用数学向量解决它们的方法。

 

基本向量运算的完整表单

首先，先复习一下。

 

首先我假设你有一个可用的向量类。它的功能大部分集中在2D上，但是3D的原理相同。差别只在于向量乘积，在2D中我假设向量相乘只会返回代表“z”轴的标量。我会特别指出任何只适用于2D或3D的情况。

 

严格来说，一个点不是一个向量——但是一个向量可以代表从原点（0，0）到点的距离，那么把向量当做点代表位置就很合理了。

 

我预期在该类中你拥有每个分量，以及下列各运算（使用C++风格的标记法，包括算子的重载——但根据你的需求应该很容易将它翻译到任何其它的语言）的使用权限。如果一个运算不可用，你仍可以通过拓展该类或者创建一个“VectorUtils”的类来实现它。以下的例子一般适用于2D向量——但对于3D通常只需简单地按照x、y的形式加入z坐标即可。

 

• Vector2foperator+（Vector2f vec）：返回两向量的和。（在没有重载的语言中，该函数可能叫做add（）。下面几个例子类似。）

a+b=Vector2f（a.x+b.x,a.y+b.y）；

• Vector2foperator-（Vector2f vec）：返回两向量的差

a-b=Vector2f（a.x-b.x,a.y-b.y）；

• Vector2foperator*（Vector2f vec）：返回两向量的逐分量的乘积

a*b=Vector2f（a.x*b.x,a.y*b.y）；

• Vector2foperator/（Vector2f vec）：返回两向量的逐分量的商

a/b=Vector2f（a.x/b.x，a.y/b.y）；

• Vector2foperator*（float scalar）：返回向量所有分量分别乘以一标量参数的结果。

a*s=Vector2f（a.x*s，a.y*s）；

s*a=Vector2f（a.x*s，a.y*s）；

• Vector2foperator/（float scalar）：返回向量所有分量分别除以一标量参数的结果。

a/s=Vector2f（a.x/s，a.y/s）；

• floatdot（Vector2f vec）：返回两向量的点乘

a.dot（b）=a.x*b.x+a.y*b.y；

• floatcross（Vector2f vec）：（2D情况）返回两向量叉乘（3D向量）的z分量

a.cross（b）=a.x*b.y-a.y*b.x；

• Vector3fcross（Vector3f vec）：（3D情况）返回两个向量的叉乘。

a.cross（b）=Vector3f（a.y*b.z-a.z*b.y, a.z*b.x-a.x*b.z,a.x*b.y-a.y*b.x）；

• floatlength（）：返回向量的长度。

a.length（）=sqrt（a.x*a.x+a.y*a.y）；

• floatsquaredLength（）：返回向量长度的平方。适用于比较两向量的长度，避免了计算平方根。

a.squaredLength（）=a.x*a.x+a.y*a.y；

• floatunit（）：返回一个指向同一方向长度为1的向量。

a.unit（）=a/a.length（）；

• Vector2fturnLeft（）：返回向量向左旋转90度的结果。适用于计算法向量。（假设y轴指向上，否则就是向右转）

a.turnLeft=Vector2f（-a.y，a.x）；

• Vector2fturnRight（）：返回向量向右旋转90度的结果。适用于计算法向量。（假设y轴指向上，否则就是向左转）
• a.turnRight=Vector2f（a.y，-a.x）；
• Vector2frotate（float angle）：按照特定角度旋转向量。尽管很少能够在向量类中找到，但这是非常有用的运算。等效于乘以一个2x2旋转矩阵

a.rotate（angle）=Vector2f（a.x*cos（angle）-a.y*sin（angle）,a.x*sin（angle）+a.y*cos（angle））；

• floatangle（）：返回向量指向的角度。

a.angle（）=atan2（a.y，a.x）；

 

简单的示例——热身

例1——两点间距离

也许你知道可以用毕达哥拉斯定理得出，但是向量方法更简单。给定向量a和向量b：

1	float distance = (a-b).length();

 

例2——矫直（alignment）

一些情况下你也许想要按照一张照片的中心矫直它。有时要按照它的左上角或者中上点。更广泛来说，为了最大限度地控制矫直线，你可以使用一个两分量从0到1（甚至超出也可以，如果你希望的话）的向量进行任意方向的矫直。

1 2	// imgPos, imgSize and align are all Vector2f Vector2f drawPosition = imgPos + imgSize * align

 

例3——参数化直线方程

两点定义一条直线，但是该定义有很多玄机。一个处理直线不错的方法是使用参数化方程：一个点（“P0”）和一个方向（“dir”）。

1 2	Vector2f p0 = point1; Vector2f dir = (point2 - point1).unit();

 

有了这个，你可以，例如，你可以得到一个距离p010单位远的点：

1	Vector2f p1 = p0 + dir * 10;

 

例4:——中点和两点间的内延（interpolation）

给定向量p0和p1。它们的中点是（p0+p1）/2。更广泛来讲，p0和p1定义的线段可以通过线性内延在0到1间改变t来得到

1	Vector2f p = (1-t) * p0 + t * p1;

在t=0时，你得到p0；在t=1时，你得到p1；在t=0.5时，你得到中点，等等。

 

例5：找到一线段的法向

你已经知道如何找到线段的方向了（例3）。将它旋转90度得到法向量，所以对它使用turnLeft（）或turnRight（）即可得到结果。

 

使用点乘的投影

点乘对于计算向量沿一个方向投影的长度具有很大帮助。我们需要向量（“a”）和一个代表投影方向（“dir”）的单位向量（所以确保你首先使用unit（））。那么投影长度就是a.dot（dir）。例如，如果a=（3，4），dir=（1，0），那么a.dot（dir）=3。你可以判断这是正确的，因为（1,0）是x轴的方向。实际上a.x恒等于a.dot（Vector2f（1，0）），a.y恒等于a.dot（Vector2f（0，1））。

因为a和b的点乘还可以被定义为|a||b|cos（alpha）（alpha是两向量夹角），所以如果两者垂直结果为0，如果两者夹角小于90°结果为正，大于90°结果为负。我们可以使用这一点判断两向量是否指向同一大方向。

如果将点乘的结果乘以方向向量，你会得到沿着那方向的向量的投影——我们称之为“at”（t代表切向）。如果我们做a-at，我们会得到垂直于方向向量的向量——我们称之为“an”（n代表法向）。at+an=a。

 

例6——决定最靠近dir的方向

假设你有许多指向不同方向的单位向量，你想要找出哪一个方向最靠近dir。只需找到列表中向量和dir点乘的结果最大的那个。同样，最小的点乘意味着距离最远的那个。

 

例7——判断两向量的夹角是否小于alpha

使用上述方程，我们知道如果两向量a和b的单位向量的点乘小于cos（alpha），那么它们之间的夹角小于alpha。

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bool isLessThanAlpha(Vector2f a, Vector2f b, float alpha) {     return a.unit().dot(b.unit()) < cos(alpha); }

 

例8——判断一点所在的半平面

假设平面中有任意一点p0，和一个方向（单位）向量，dir。假设一条穿过p0，垂直于dir的无线长的线将平面一分为二：dir指向的半平面和dir没有指向的半平面。那么如何判断一个点p是否在dir指向的那一边呢？记住当向量间夹角小于90°时它们的点乘为正，那么只需做投影然后检查：

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bool isInsideHalfPlane(Vector2f p, Vector2f p0, Vector dir) {     return (p - p0).dot(dir) >= 0; }

 

例9——迫使一点在半平面内

和上面范例相似，但是不仅仅是检查，如果投影小于0的话，我们使用它将目标-投影移动到dir方向，这样目标点就在半平面的边缘了。

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Vector2f makeInsideHalfPlane(Vector2f p, Vector2f p0, Vector dir) {     float proj = (p - p0).dot(dir);     if (proj >= 0) return p;     else return p - proj * dir; }

 

例10——检查/迫使一点在一凸多面体内。

一个凸多面体可以被定义为多个半平面相交所得结果，每个交线作为多面体的边。它们的p0是边上的顶点，它们的dir是边的内面法线向量（例如，如果你按顺时针方向走，那就是turnRight（）法向）。一个点在多面体内部当且仅当它在所有的半平面内。同样地，你可以迫使它在多面体内（通过移动到最靠近的边）通过对所有半平面运用makeInsideHalfPlane 算法。[哎呀！其实只有当所有角度>=90°时才管用]

 

例11——按照给定法线反射一个向量

弹球类游戏，球撞向一个斜墙面。已知球的速度向量和墙的法向量（见例5）。现实情况下它会如何反弹？简单！只需反射球的法向速度，保持它的切向速度即可。

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Vector2f vel = getVel(); Vector2f dir = getWallNormal(); // Make sure this is a unit vector Vector2f velN = dir * vel.dot(dir); // Normal component Vector2f velT = vel - velN; // Tangential component Vector2f reflectedVel = velT - velN;

想要更贴近现实，你可以将velT和velN分别乘以一个代表摩擦力和恢复系数的常数。

 

例12——抵消沿轴的运动

有时我们需要将运动限制在一个给定坐标轴内。思路和上面相同：将速度分解到法向和切向上，然后仅保留切线速度。这有助于计算沿轨道运动的人的速度。

 

旋转

例13——点绕定点做旋转

假设我们有一点，rotate（）会将点按原点进行旋转。这很有趣，但是也有限制。按任意一定点旋转简单而且实用——只需用点减去定点，也就是将定点平移到原点，然后旋转，然后再把定点加回去。

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Vector2f rotateAroundPivot(Vector2f p, Vector2f pivot) {     return (pos - pivot).rotate(angle) + pivot; }

 

例14——判断向哪一方向旋转

假设我们有一个角色想要转身面向敌人。已知他的方向和面向敌人的方向。那么他应该向左转还是向右转？叉乘给出了简单的答案：curDir.cross（targetDir）返回正数如果你应该左转，负数如果你应该右转（返回0如果已经面对他了或者180°背对他）。

 

其他几何示例

有一些其它实用的例子，其中没有过多使用向量，但是很有用：

 

例15——等距空间到屏幕坐标

等距游戏中，你知道世界的（0,0）在屏幕的什么位置（让我们称之为原点，使用一个向量代表它），但是你如何知道（x，y）在屏幕的什么位置呢？首先，你需要两个代表坐标基的向量，新x轴和新y轴。对于一个典型的等距游戏来说，它们可以是bx=Vector2f（2，1）和by=Vector2f（-2，1）——它们不一定是单位向量。现在，一切都简单了。

1 2	Vector2f p = getWorldPoint(); Vector2f screenPos = bx * p.x + by * p.y + origin;

没错，的确很简单。

 

例16——等距屏幕到世界坐标

相同情况，但是这次你想要知道鼠标滑过哪块儿拼接图（tile）。这要更复杂一些。我们知道（x’，y’）=（x*bx.x+y*by.x，x*bx.y+y*by.y）+原点，所以可以先减去原点，然后对线性方程求解。使用克拉默法则，我们可以聪明地使用2D叉乘（查看文章开始的定义）进行简化：

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Vector2f pos = getMousePos() - origin; float demDet = bx.cross(by); float xDet = pos.cross(by); float yDet = bx.cross(pos); Vector2f worldPos = Vector2f(xDet / demDet, yDet / demDet);

 

我看多许多人都在用“找到矩形然后查看位图”的方法，现在你不需要了。