最长不降子序列

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了最长不降子序列相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

最长不降子序列

 

 

 
原文http://www.cppblog.com/superKiki/archive/2010/08/09/122868.html 这题目是经典的DP题目,也可叫作LIS(Longest Increasing Subsequence)最长上升子序列或者 最长不下降子序列。很基础的题目,有两种算法,复杂度分别为O(n*logn)和O(n^2) 。
 

一.问题描述

    设有由n个不相同的整数组成的数列,记为:

    a(1)、a(2)、……、a(n)且a(i)<>a(j) (i<>j)

    例如3,18,7,14,10,12,23,41,16,24。

    若存在i1<i2<i3< … < ie 且有a(i1)<a(i2)< …

    <a(ie)则称为长度为e的不下降序列。如上例中3,18,23,24就是一个长度为4的不下降序列,同时也有3,7,10,12,16,24长度为6的不下降序列。程序要求,当原数列给出之后,求出最长的不下降序列。

    二.算法分析

    (一)。根据动态规划的原理,由后往前进行搜索。

    1·对a(n)来说,由于它是最后一个数,所以当从a(n)开始查找时,只存在长度为1的不下降序列;

    2·若从a(n-1)开始查找,则存在下面的两种可能性:

    ①若a(n-1)<a(n)则存在长度为2的不下降序列a(n-1),a(n)。

    ②若a(n-1)>a(n)则存在长度为1的不下降序列a(n-1)或a(n)。

    3·一般若从a(i)开始,此时最长不下降序列应该按下列方法求出:

在a(i+1),a(i+2),…,a(n)中,找出一个比a(i)大的且最长的不下降序列,作为它的后继。倒推公式为

F(I)=MAX{F(I+K)}+1

F[I]:表示以第I个位置为起点的最长不下降序列的长度。

K的选择范围:a(I+k)>a(i)   I+k≦n

 最后从F[1]到F[N]中选取最大的即为最优解

当然也可以采用顺推的方法,顺推公式为

F(I)=MAX{F(I-K)}+1

F[I]:表示以第I个位置为终点的最长不下降序列的长度。

K的选择范围:a(I-k)<a(i)  I-k≧1

最后从F[1]到F[N]中选取最大的即为最优解

    4·为算法上的需要,定义一个数组(倒推法)

    整数类型二维数组d(N,3)

    d(I,1)表示点a(i)

    d(I,2)表示从I位置到达N的最长不下降序列长度

    d(I,3)表示从I位置开始最长不下降序列的下一个数字的位置,以便打印。

    初始化:

    FOR I = 1 TO N

    INPUT #1, D(I, 1)

    D(I, 2) = 1

    D(I, 3) = 0

    NEXT I


A.O(n^2)算法分析如下: 
a[1]...a[n] 存的都是输入的数)  1、对于a[n]来说,由于它是最后一个数,所以当从a[n]开始查找时,只存在长度为1的不下降子序列;  2、若从a[n-1]开始查找,则存在下面的两种可能性:  (1)若a[n-1] < a[n] 则存在长度为2的不下降子序列 a[n-1],a[n]; (2)若a[n-1] > a[n] 则存在长度为1的不下降子序列 a[n-1]或者a[n]。  3、一般若从a[t]开始,此时最长不下降子序列应该是按下列方法求出的:  在a[t+1],a[t+2],...a[n]中,找出一个比a[t]大的且最长的不下降子序列,作为它的后继。  4、为算法上的需要,定义一个数组: int d[n][3]; d[t][0]表示a[t]; d[t][1]表示从i位置到达n的最长不下降子序列的长度; d[t][2]表示从i位置开始最长不下降子序列的下一个位置。 实现代码如下:

#include <iostream>
using namespace std;
int main(void)
{
    int i,j,n,a[100],b[100],max;
   while(cin>>n)
{        for(i=0;i<n;i++)
           cin>>a[i];
      b[0]=1;//初始化,以a[0]结尾的最长递增子序列长度为1
     for(i=1;i<n;i++)
        {
            b[i]=1;//b[i]最小值为1
          for(j=0;j<i;j++)
             if(a[i]>a[j]&&b[j]+1>b[i])
                   b[i]=b[j]+1;
       } 
       for(max=i=0;i<n;i++)//求出整个数列的最长递增子序列的长度
            if(b[i]>max)
                max=b[i];
        cout<<max<<endl;
    }
    return 0
}

 

    显然,这种方法的时间复杂度仍为o(n^2) =1 + 2 + ...+n;
B.最长不下降子序列的O(n*logn)算法分析如下:
    设 A[t]表示序列中的第t个数,F[t]表示从1到t这一段中以t结尾的最长上升子序列的长度,初始时设F [t] = 0(t = 1, 2, ..., len(A))。则有动态规划方程:F[t] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1, 且A[j] < A[t])。 
现在,我们仔细考虑计算F[t]时的情况。假设有两个元素A[x]和A[y],满足  (1)x < y < t (2)A[x] < A[y] < A[t] (3)F[x] = F[y]      此时,选择F[x]和选择F[y]都可以得到同样的F[t]值,那么,在最长上升子序列的这个位置中,应该选择A[x]还是应该选择A[y]呢?  很明显,选择A[x]比选择A[y]要好。因为由于条件(2),在A[x+1] ... A[t-1]这一段中,如果存在A[z],A[x] < A[z] < a[y],则与选择A[y]相比,将会得到更长的上升子序列。  再根据条件(3),我们会得到一个启示:根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k,我们只需要保留满足F[t] = k的所有A[t]中的最小值。设D[k]记录这个值,即D[k] = min{A[t]} (F[t] = k)。 
    注意到D[]的两个特点:  (1) D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。  (2) D[]的值是有序的,即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。 
    利用D[],我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断A[t]与D[len]。若A [t] > D[len],则将A[t]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列,len = len + 1, D[len] = A [t];否则,在D[1]..D[len]中,找到最大的j,满足D[j] < A[t]。令k = j + 1,则有A [t] <= D[k],将A[t]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列,更新D[k] = A[t]。最后,len即为所要求的最长上 升子序列的长度。 
    在上述算法中,若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找,由于共有O(n)个元素需要计算,每次计算时的复杂度是O(n),则整个算法的 时间复杂度为O(n^2),与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2),我们在D[]中查找时,可以使用二分查找高效地完成,则整个算法 的时间复杂度下降为O(nlogn),有了非常显著的提高。需要注意的是,D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列!

#include <iostream>
using namespace std;
int find(int *a,int len,int n)//若返回值为x,则a[x]>=n>a[x-1]
{
    int left=0,right=len,mid=(left+right)/2;
    while(left<=right)
    {
        if(n>a[mid]) left=mid+1;
        else if(n<a[mid]) right=mid-1;
        else return mid;
        mid=(left+right)/2;
    }
    return left;  
}
void fill(int *a,int n)
{
    for(int i=0;i<=n;i++)
        a[i]=1000;
}
int main(void)
{
    int max,i,j,n,a[100],b[100],c[100];
    while(cin>>n)
    {
        fill(c,n+1);
        for(i=0;i<n;i++)
            cin>>a[i];
        c[0]=-1;//    …………………………………………1
        c[1]=a[0];//        ……………………………………2
        b[0]=1;//     …………………………………………3
        for(i=1;i<n;i++)//        ………………………………4
        {
            j=find(c,n+1,a[i]);//   ……………………5
            c[j]=a[i];// ………………………………6
            b[i]=j;//……………………………………7
        }
        for(max=i=0;i<n;i++)//………………………………8
            if(b[i]>max)
                max=b[i];
        cout<<max<<endl;
    }
    return 0;
} 

 

 

对于这段程序,我们可以用算法导论上的loop invariants来帮助理解loop invariant:

  1、每次循环结束后c都是单调递增的。(这一性质决定了可以用二分查找)             

 2、每次循环后,c[i]总是保存长度为i的递增子序列的最末的元素,若长度为i的递增子序列有多个,刚保存末尾元素最小的那个.(这一性质决定是第3条性质成立的前提)             

 3、每次循环完后,b[i]总是保存以a[i]结尾的最长递增子序列。 initialization: 

        1、进入循环之前,c[0]=-1,c[1]=a[0],c的其他元素均为1000,c是单调递增的             

         2、进入循环之前,c[1]=a[0],保存了长度为1时的递增序列的最末的元素,且此时长度为1的递增了序列只有一个,c[1]也是最小的             3、进入循环之前,b[0]=1,此时以a[0]结尾的最长递增子序列的长度为1. maintenance:   

 1、若在第n次循环之前c是单调递增的,则第n次循环时,c的值只在第6行发生变化,而由c进入循环前单调递增及find函数的性质可知(见find的注释),此时c[j+1]>c[j]>=a[i]>c[j-1],所以把c[j]的值更新为a[i]后,c[j+1]>c[j]>c[j-1]的性质仍然成立,即c仍然是单调递增的;              

2、循环中,c的值只在第6行发生变化,由c[j]>=a[i]可知,c[j]更新为a[i]后,c[j]的值只会变小不会变大,因为进入循环前c[j]的值是最小的,则循环中把c[j]更新为更小的a[i],当然此时c[j]的值仍是最小的            

 3、循环中,b[i]的值在第7行发生了变化,因为有loop invariant的性质2,find函数返回值为j有:c[j-1]<a[i]<=c[j],这说明c[j-1]是小于a[i]的,且以c[j-1]结尾的递增子序列有最大的长度,即为j-1,把a[i]接在c[j-1]后可得到以a[i]结尾的最长递增子序列,长度为(j-1)+1=j; termination:      循环完后,i=n-1,b[0],b[1],...,b[n-1]的值均已求出,即以a[0],a[1],...,a[n-1]结尾的最长递增子序列的长度均已求出,再通过第8行的循环,即求出了整个数组的最长递增子序列。

    仔细分析上面的代码可以发现,每次循环结束后,假设已经求出c[1],c[2],c[3],...,c[len]的值,则此时最长递增子序列的长度为len,因此可以把上面的代码更加简化,即可以不需要数组b来辅助存储,第8行的循环也可以省略。

#include <iostream>
using namespace std;
int find(int *a,int len,int n)//修改后的二分查找,若返回值为x,则a[x]>=n
{
    int left=0,right=len,mid=(left+right)/2;
    while(left<=right)
    {
        if(n>a[mid]) left=mid+1;
        else if(n<a[mid]) right=mid-1;
        else return mid;
        mid=(left+right)/2;
    }
    return left;
}
int main(void)
{
    int n,a[100],b[100],c[100],i,j,len;//新开一变量len,用来储存每次循环结束后c中已经求出值的元素的最大下标
    while(cin>>n)
    {
        for(i=0;i<n;i++)
            cin>>a[i];
        b[0]=1;
        c[0]=-1;
        c[1]=a[0];
        len=1;//此时只有c[1]求出来,最长递增子序列的长度为1.
        for(i=1;i<n;i++)
        {
            j=find(c,len,a[i]);
            c[j]=a[i];
            if(j>len)//要更新len,另外补充一点:由二分查找可知j只可能比len大1
                len=j;//更新len
        }
        cout<<len<<endl;
    }
    return 0;
}

 

 比较一点的实现:

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
const int N = 1001;
int a[N], C[N], f[N]; // f[i]用于记录a[0最长不降子序列i]的最大长度
int bsearch(const int *C, int size, const int &a) 
{
    int l=0, r=size-1;
    while( l <= r ) 
    {
        int mid = (l+r)/2;
        if( a > C[mid-1] && a <= C[mid] ) return mid; // >&&<= 换为: >= && <
        else if( a < C[mid] ) r = mid-1;
        else l = mid+1;
    }
}

int LIS(const int *a, const int &n)
{
    int i, j, size = 1;
    C[0] = a[0]; f[0] = 1;
    for( i=1; i < n; ++i )
    {
        if( a[i] <= C[0] ) j = 0;                 // <= 换为: <
        else if( a[i] >C[size-1] ) 
            j = size++;   // > 换为: >= 
        else 
            j = bsearch(C, size, a[i]);
        C[j] = a[i]; f[i] = j+1;
    }
    return size;
}

int main(void)
{
    int data[32];
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
            cin>>data[i];
        cout<<LIS(data,n)<<endl;
    }
    return 0;
}

转载:http://blog.sina.com.cn/s/blog_497350a40100qdeo.html

以上是关于最长不降子序列的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

D1. Kirk and a Binary String (easy version)

动态规划——最长不下降子序列(LIS)

每日编程-20170401

2016级算法第三次上机-F.ModricWang的导弹防御系统

最大不降子序列

题解 P4093 [HEOI2016/TJOI2016]序列