七天入门统计力学-第1天 基础知识及基本概念

Posted 2020-06-17

七天掌握物理基础课统计力学是不可能的，但是由于工作需要，以及方便其他相关课程的学习，在七天之内至少可以对统计力学大的体系有一个把握，并且能够体会出其中的重点和难点。这样的"预习"性质的学习对于完全掌握是有很大的帮助的。

参考课本：Statistical Mechanics by Donald A McQuarrie

学习基础：高等数学，普通物理，热力学（化学），电动力学，量子力学，复变函数。//这个基础并不完善，基本处于半白板。

说实话刚开始看这本书来学习统计力学的时候真的是没有任何头绪，只能从头开始看，找到感觉或者规律再跳读。由于从英文读起，有些术语翻译不准确，有待更新修正。

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第1天 基础知识及基本概念

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统计力学研究范围及分支

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经典力学回顾

牛顿力学，拉格朗日力学，哈密顿力学（详细学习将在另外的分析力学部分中，更细致的学习需要将应用数学开个头）

????-统计力学回避解详细的粒子运动方程

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量子力学回顾

这里仅列举统计力学中需要的必要结论。

【结论1 】这里从三位无限深方势阱引出对三个量子数的统计求和：

在量子数\((n_x,n_y,n_z)\)下系统的能量为

\(\Large \varepsilon_{n_x n_y n_z}=\frac{h^2}{8ma^2}(n_x^2+ n_y^2+ n_z^2) \qquad n_x, n_y, n_z =1,2,3,\cdots\)

其中m是粒子的能量，a是三维势阱的边宽。在\((n_x,n_y,n_z)\)空间（正确名称待查证）中，系统状态可以表示为一个向量\((n_x,n_y,n_z)\)，向量符号记为\(\vec R\)，即

\(\Large n_x^2+n_y^2+n_z^2=\frac{8ma^2\varepsilon}{h^2}=R^2\)

上式可以看出不同系统状态向量模长相等时能量即相等。因此可以通过统计求得多粒子（不可区分，互不作用）的总能量。此处用到统计，小于/小于等于\(\varepsilon\)能量的状态数目为

\(\Large \Phi(\varepsilon)=\frac{1}{8}(\frac{4\pi R^3}{3})=\frac{\pi}{6}(\frac{8ma^2\varepsilon}{h^2})^{3/2}\)

这里认为R是一个远大于空间n_i间距的值，这样可以以面积/体积计算原本离散的状态格点的个数。所以，能够求出所有能量小于\(\varepsilon\)的格点/系统状态的个数。上式中的1/8是因为n_i是正数，只占1/8个球体。

推广，在N维状态空间中，能量小于等于E的状态数为：

\(\Large \Phi(E)=\frac{1}{\Gamma(N+1)\ \Gamma[(3N/2)+1]} (\frac{2\pi ma^2E}{h^2})^{3N/2}\)

这里\(\Gamma(n)\)即\(\Gamma\)函数。

【结论2】若体系中各粒子互不作用/独立，则系统总能量等于各粒子的单独能量之和。

【结论3】粒子的交换对称性（即费米子与玻色子）

总自旋为整数的粒子为玻色子，有交换对称性。例如光子、⁴He核等。

总自旋为半整数的粒子为费米子，有交换反对称性。例如电子。

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热力学

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数学-统计方法

【随机变量及分布函数】

定义离散随机变量u有M个可能的值u₁, u₂, …, u_M，对应的概率为p(u₁), p(u₂), …, p(u_M)。u的平均值/期望值可以由加权平均数的方法求出

\(\Large \bar{u}=\frac{\sum\limits_{j=1}^{M}u_jp(u_j)}{\sum\limits_{j=1}^{M}{p(u_j)}}\)

p(u_j)称为分布函数

重要的离散分布：泊松分布（Poisson distribution）

\(\large P(m)=\frac{a^me^{-a}}{m!}\)

定义连续随机变量u，概率分布函数为p(u)，则值u对应的概率为p(u)du。u的任意函数平均值/期望值可以由加权积分的方法求出

\(\Large \overline{f(u)}=\int_{\scriptsize U} f(u)p(u)du\)

***

最重要的连续分布：高斯分布（Gaussian distribution）

\(\large p(x)=\frac{1}{(2\pi\sigma^2)}exp[-\frac{(x-\bar{x})^2}{2\sigma^2}]\qquad-\infty\leq x \leq\infty\)

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【斯特林近似公式】

当N是一个很大的数时（如Avogadro常数）

\(\Large lnN!=NlnN-N\)

推导：

\(\Large lnN!=\sum\limits_{m=1}^{N}lnm\approx \int\limits_1^N lnxdx=NlnN-N\)

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【二项展开及多项展开】

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【拉格朗日乘因子法】

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【对大量数据的二项分布】

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【Maximum term method】

处理大数的近似方法：大数S

\(\Large S=\sum\limits_{N-1}^M T_N \qquad T_N>0\)

\(T_N\)中的最大值\(T_{max}\)有

\(\Large T_{max}\leq S\leq MT_{max}\)

取对数

\(\Large lnT_{max}\leq lnS\leq lnT_{max}+lnM\)

在统计力学中，一般有 \(T_{max} \sim e^M\)，忽略lnM得到

\(\Large lnS\approx lnT_{max}\)

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附课本目录：

1 Introduction and Review

2 The Canonical Ensemble（正则系综）

3 Other Ensembles and Fluctuations

4 Boltzmann Statistics, Fermi-Dirac Statistics, and Bose-Einstein Statistics

5 Ideal Monatomic Gas

6 Ideal Diatomic Gas

7 Classical Statistical Mechanics

8 Ideal Polyatomic Gas

9 Chemical Equilibrium

10 Quantum Statistics

11 Crystals

12 Imperfect Gases

13 Distribution Functions in Classical Monatomic Liquids

14 Perturbation Theories of Liquids

15 Solutions of strong Electrolytes

16 Kinetic Theory of Gases and Molecular Collisions

17 Continuum Mechanics

18 Kinetic theory of Gases and The Boltzmann Equation

19 Transport Processes in Dilute Gases

20 Theory of Brownian Motion

21 The Time-correlation Function Formalism, I

22 The Time-correlation Function Formalism, II

Appendix A Values of some physical constants and energy conversion

Appendix B Fourier Integrals and the Dirac delta function

Appendix C Debye heat capacity function

Appendix D Hard-sphere radial distribution function

Appendix E Tables for the m-6-8 potential

Appendix F Derivation of the golden rule of perturbation theory

Appendix G The Dirac bra and ket notation

Appendix H The Heisenberg time-dependent representation

Appendix I The Poynting flux vector

Appendix J The Radiation emitted by an oscillating dipole

Appendix K Dielectric constant and absorption