算法笔记_012:埃拉托色尼筛选法

Posted 2020-08-25 舞动的心

1 问题描述

Compute the Greatest Common Divisor of Two Integers using Sieve of Eratosthenes.

翻译：使用埃拉托色尼筛选法计算两个整数的最大公约数。（PS：最大公约数也称最大公因数，指两个或多个整数共有约数中最大的一个）

 

 

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2 解决方案

2.1 埃拉托色尼筛选法原理简介

引用自百度百科：

埃拉托色尼筛选法(the Sieve of Eratosthenes)简称埃氏筛法，是古希腊数学家埃拉托色尼(Eratosthenes 274B.C.～194B.C.)提出的一种筛选法。 是针对自然数列中的自然数而实施的，用于求一定范围内的质数，它的容斥原理之完备性条件是p=H~。

具体求取质数的思想：

（1）先把1删除（现今数学界1既不是质数也不是合数）

（2）读取队列中当前最小的数2，然后把2的倍数删去

（3）读取队列中当前最小的数3，然后把3的倍数删去

（4）读取队列中当前最小的数5，然后把5的倍数删去

（5）如上所述直到需求的范围内所有的数均删除或读取

下面看一下执行上述步骤求不大于100的所有质数的一个示意图：

 

 

2.2 具体编码

本文求取两个数的最大公约数，采用质因数分解法：把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。

例如：求24和60的最大公约数，先分解质因数，得24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24与60的全部公有的质因数是2、2、3，它们的积是2×2×3=12，所以，（24，60）=12。

此处，第一步，先使用埃拉托色尼筛选法求取不大于数A的所有质数，然后从这些质数中选取A的所有质因数；第二步，依照第一步思想求取数B的所有质因数；第三步，求取数A和数B公共质因数；第四步，输出数A和数B的最大公约数。

具体代码如下：

 

package com.liuzhen.ex1;

import java.util.Scanner;

public class SieveOfEratosthenes {
    //返回一维数组，数组中的元素为不大于n的所有质数
    public static int[] getPrime(int n){
        int[] result1 = new int[n];   //定义一个一维数组，并从第2个元素依次初始化为相应的自然数
        for(int i = 2;i < n+1;i++){    
            result1[i-1] = i;
        }
        for(int i = 2;i < n;i++){
            for(int j = i+1;j < n+1;j++){
                if(j % i == 0)          //如果j能够整除i，使result[j-1]等于0
                    result1[j-1] = 0;
            }
        }
        int[] result2 = getNoneZero(result1);  //除去result数组中所有0元素
        return result2;     //数组中非零元素即为不大于n的所有质数
    }
    
    //返回一维数组，该数组的元素为参数数组中所有不为0的元素值
    public static int[] getNoneZero(int[] A){
        int len = 0; 
        for(int i = 0;i < A.length;i++){
            if(A[i] != 0)
                len = len+1;
        }
        int[] result = new int[len];
        int k = 0;
        for(int i = 0;i < A.length;i++){
            if(A[i] != 0){
                result[k] = A[i];
                k++;
            }
        }
        return result;
    }
    
    //求取一个数n的所有质因数(eg:24=2×2×2×3,则result[] = {2,2,2,3})
    public static int[] getNprime(int n){
        int[] primes = getPrime(n);
        int[] result;        //最终返回结果集
        int len = 0;         //返回结果集数组长度，初始化为0
        for(int i = 0;i < primes.length;i++){
            int temp = n;
            while(temp % primes[i] == 0){
                temp = temp/primes[i];
                len++;
            }
        }
        result = new int[len];
        int k = 0;
        for(int i = 0;i < primes.length;i++){
            int temp = n;
            while(temp % primes[i] == 0){
                temp = temp/primes[i];
                result[k] = primes[i];
                k++;
            }
        }
        return result;
    }
    
    //返回两个一维数组中所有共同元素
    public static int[] getCommonPrime(int[] A , int[] B){
        int[] result;
        int lenA = A.length;
        int lenB = B.length;
        if(lenA < lenB){
            result = new int[lenA];
            for(int i = 0;i < lenA;i++){
                int temp = A[i];
                for(int j = 0;j < lenB;j++){
                    if(temp == B[j]){
                        result[i] = A[i];
                        B[j] = 0;
                        break;
                    }
                }
            }
        }
        else{
            result = new int[lenB];
            for(int i = 0;i < lenB;i++){
                int temp = B[i];
                for(int j = 0;j < lenA;j++){
                    if(temp == A[j]){
                        result[i] = B[i];
                        A[j] = 0;
                        break;
                    }
                }
            }
        }
        int[] result1 = getNoneZero(result);
        return result1;
    }
    
    //求取数A和B的最大公约数
    public static void getMaxCommonDivisor(int A,int B){
        int[] primesA =  getNprime(A);  //数A所有质因子
        int[] primesB = getNprime(B);   //数B所有质因子
        int[] resultPrime = getCommonPrime(primesA,primesB);  //数A和数B的公共质因数
        int maxCommonDivisor = 1;
        System.out.println(A+"和"+B+"的公共质因数为：");
        for(int i = 0;i < resultPrime.length;i++){
            maxCommonDivisor *= resultPrime[i];
            System.out.print(resultPrime[i]+"\\t");
        }
        System.out.println();
        System.out.print(A+"和"+B+"的最大公约数为："+maxCommonDivisor);
    }
    
    public static void main(String[] args){
        System.out.println("请输入数字A和数字B的值：");
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int a = in.nextInt();
        int b = in.nextInt();
        getMaxCommonDivisor(a,b);
    }
}

 

运行结果：

请输入数字A和数字B的值：
100 60
100和60的公共质因数为：
2    2    5    
100和60的最大公约数为：20


请输入数字A和数字B的值：
60 48
60和48的公共质因数为：
2    2    3    
60和48的最大公约数为：12


请输入数字A和数字B的值：
120 54
120和54的公共质因数为：
2    3    
120和54的最大公约数为：6