回溯法数独与N阶可达问题

Posted 2020-06-17

　　回溯法是剪了枝的穷举，这是字面上的说法，不太好理解，不如讲解实例来的酸爽，于是引出了N阶可达问题：

　　有N个国家，每个国家有若干城市，小明要从中国（任意一个城市）出发，遍历所有国家（假设这个遍历顺序已经定了），最终到达美利坚（任意一个城市）。而城市之间有可能不可达，只有小明尝试过才知道（就是后面的check()函数），求满足要求的一条路径？

　　从上面的表述中我们已经嗅到了浓浓的穷举屌丝气质——遍历所有组合，但是我们的回溯思想总是基于这样一个简单的事实：如果当前选择导致你走进了死胡同，那么这个选择一定是错误的，同时基于这个错误的后续所有的选择都是错误而无意义的（剪枝）。道理的前半句表明我们要及时回溯，而后半句指出了这样做的优点是剪枝。比如小明要遍历中国---日本---美国，小明选择从中国武汉出发，这个选择是正确的还是错误的尚不明确，但是小明经过许多个check()之后发现，没有从武汉到日本任意一个城市的可达线路，这说明选择从武汉出发这个决定是错误的，应该回溯，重新选择一个中国的起点城市，小明在不知不觉中已经排除了形如（中国武汉市）---（日本XX市）---（美国XX市）的诸多组合，这就是所谓的剪了枝的穷举。

　　数独问题也是典型的N阶可达问题，下面以一个挖去64个洞的数独为例来具体说明，每个洞有1~9共9种可能性，一共要填64个洞，并且每填写好一个洞对后续的步骤会产生影响。

　　假设我们是从左到右，从上到下依次填写数字，那么此数独问题可以表达为如下的64阶可达问题：

　　根据回溯思想，采用递归函数（因为每层的情况是一样的，请读者思考如果不一样该如何编程）依次处理编号为0~80共计81个格子，可写出如下的求解代码：

/*************************************************************** 
程序作者：yin
创建日期：2016-2-26 
程序说明：该程序读取同目录下sudoku.txt文件的特定的数独格式，然后
采用回溯法求解，当找到一解后立即返回结束搜索。程序的部分代码参考
自互联网。
************************************************************** */
#include<stdio.h>
#include <ctime>
int result=0; //结果数
int try_times=0;
 int sudoku[9][9];
void solver(int sudoku[9][9],int n);
void read_sudoku()
{
	FILE *fp=fopen("sudoku.txt","r+");
	
		for(int i=0;i<9;i++)
		for(int j=0;j<9;j++)
		{
			char temp=fgetc(fp);
			 if(temp!=‘\n‘)		sudoku[i][j]=temp-48;
			 else			sudoku[i][j]=fgetc(fp)-48;
		} 
	fclose(fp);
}
void show_sudoku(int a[9][9])
{
	printf(" -------------------\n");	
	for(int i=0;i<9;i++)
		{
			printf(" | ");
			for(int j=0;j<9;j++)
			{
				printf("%d",a[i][j]);
				if(j==2 || j==5 || j==8)printf(" | ");
			}
			
			printf("\n");
			if(i==2 || i==5 || i==8)printf(" -------------------\n");	
		}
}


//判断是否可以将第i行、第j列的数设为k
bool check(int sudoku[9][9],int i,int j,int k)
{
 int m,n;
 //判断行
 for(n=0;n<9;n++)
 {
  if(sudoku[i][n] == k)
   return false;
 }
 //判断列
 for(m=0;m<9;m++)
 {
  if(sudoku[m][j] == k)
   return false;
 }
 //判断所在小九宫格
 int t1=(i/3)*3,t2=(j/3)*3;
 for(m=t1;m<t1+3;m++)
 {
  for(n=t2;n<t2+3;n++)
  {
   if(sudoku[m][n] == k)
    return false;
  }
 }
 //可行，返回true
 return true;
}
//数独求解函数
void solver(int sudoku[9][9],int n)
{if(result==1) return;
 int temp[9][9];
 int i,j;
 for(i=0;i<9;i++)
  for(j=0;j<9;j++)
   temp[i][j]=sudoku[i][j];

 i=n/9; j=n%9; //求出第n个数的行数和列数
 //若可以后移，就后移一个格子，若不能程序结束 
 if(sudoku[i][j] != 0)
 {
  if(n == 80)//递归退出点 
	{
		result++;
		 printf(" 数独的解为：\a\n");
		show_sudoku(temp);
	}
  else    solver(temp,n+1); 
 } 
 else    //空各格子 
 {
  for(int k=1;k<=9;k++)
  {
   bool flag=check(temp,i,j,k);
   if(flag) //第i行、第j列可以是k
   {
 	//------------------------------------
 	try_times++;	
	//------------------------------------	  
    temp[i][j]=k; //设为k
    
    //若可以后移，就后移一个格子，若不能程序结束 
    if(n == 80) //递归退出点
	{
		result++;
		 printf(" 数独的解为：\a\n");
		show_sudoku(temp);
	}
    else		solver(temp,n+1);

    temp[i][j]=0; //回溯擦除这个错误 
   }
  }
  //退层点
 }

}
int main()
{
 time_t start,end; 
 start=clock();
 
	//读显数独题目
	read_sudoku();
	show_sudoku(sudoku);
	//按照一定的顺序，一个一个地处理格子
	solver(sudoku,0); 
	  if(result==0)	printf("此数独无解!\a");

 end=clock(); 
printf("------------------------------------------------------------------------\n");
printf("total run time :%10dms\n",end-start);
printf("        共尝试：%10ld次\n",try_times);
printf("------------------------------------------------------------------------\n");
 getchar(); 
 return 0;
}

　　下面我们用号称世界最难的数独题来测试一下程序，首先在程序同目录下建立sudoku.txt的文件，然后输入以下内容：

800000000
003600000
070090200
050007000
000045700
000100030
001000068
008500010
090000400

　　保存然后运行程序，得到如下结果。程序大约运行了60ms，在进行了49584次尝试之后找到了数独的解。

　　再来一发，号称专杀暴力破解的数独题试一下：

　　哇，好奇怪，世界最难数独都能在百毫秒内求解，为什么这个数独题居然花了大约37秒？莫非此数独真的有专杀暴力破解的神秘力量？欲知其中原理，且听下回分解。