5.4 实对称矩阵的对角化

Posted 2020-08-25

  本节我们介绍一类必可对角化，且相似变换矩阵可取为正交矩阵的矩阵，即实对称矩阵.

  定理1   $n$阶实对称矩阵的特征值为实数.

  提示: $Ax=\lambda x, \bar\lambda \bar{x} = \bar{Ax}=\bar{A}\bar{x}=A\bar{x}$, 从而$\bar{x}^T A^{T}=\bar{x}^T A=\bar\lambda \bar{x}^T$, 所以$$\lambda\bar{x}^Tx=\bar{x}^T Ax=\bar\lambda\bar{x}^Tx,$$

注意到$\bar{x}^Tx=\bar{x_1}x_1 +\cdots + \bar{x_n}x_n = |x_1|^2 + \cdots +|x_n|^2$, 即得结论.

  推论1   $n$阶实对称矩阵必有$n$个实特征值(重根按重数计).

  定理2   设$\lambda_1, \lambda_2$是实对称矩阵$A$的两个特征值, $p_1, p_2$是对应的特征向量. 若$\lambda_1 \neq \lambda_2$, 则$p_1, p_2$正交.

  提示: $(Ap_1)^Tp_2=(\lambda_1p_1)^Tp_2=\lambda_1p_1^T$, 并且

$(Ap_1)^Tp_2=p_1^TA^Tp_2=p_1^TAp_2=\lambda_2p_1^Tp_2$, 再由$p_1^Tp_2=[p_1, p_2]$, 即得结论.

  定理3   设$A$是$n$阶实对称矩阵, 则存在$n$阶正交矩阵$P$, 使得$P^{-1}AP = diag(\lambda_1, \cdots, \lambda_n)$. 其中$\lambda_1, \cdots, \lambda_n$是$A$的全部特征值(均为实数). $P=(p_1, \cdots, p_n)$相应的规范正交特征向量(也是实的).

  提示: 数学归纳法.

  推论2   设$A$为实对称矩阵，如果$\lambda$是特征方程$|A-\lambda E|=0$的$k$重根, 则$\lambda$恰对应$k$个线性无关的特征向量.

  将实对称矩阵$A$对角化的步骤如下：

  (1)求出$A$的全部特征值，得到对角矩阵的对角元素;

  (2)对于单重特征值, 求出相应的1个线性无关的特征向量, 将其单位化. 对于$k$重特征值, 求其$k$个线性无关的特征向量, 再按施密特方法, 将其规范正交化, 得到$k$个相互正交的单位特征向量. 最后得到$n$个规范正交特征向量$p_1, \cdots, p_n$.

  (3)令$P=(p_1, \cdots, p_n)$, 它是正交矩阵, 且有$P^{-1}AP=P^TAP=diag(\lambda_1, \cdots, \lambda_n)$.

  命题   设$A, B$为$n$阶实对称矩阵, 则$A$与$B$相似的充要条件为$A$与$B$有相同的特征值.

  注意: 若$A, B$不是实对称矩阵, 则充分性不成立. 如A=[0 0;0 0], B=[0 1;0 0], 特征值都是0, 但它们秩不同, 因而肯定不是相似矩阵.