LCA

Posted 2020-08-25

概念描述

LCA（Least Common Ancestors）：即最近公共祖先，是指这样一个问题：在有根树中，找出某两个结点u和v的所有祖先中距离（u，v）最近的那个公共祖先（也就是离根最远的那个公共祖先）。

算法思想：主要有3种 1.倍增(在线) 2.tarjan(离线) 3.RMQ+ST

1.倍增

f[i][j]表示i向上跳2的j次方步是谁

则有f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]

注意初始时f[root][i]=root(i-->1-20)

预处理一遍后

要找树上两点的LCA

首先要保证它们在同一深度

若不在，则用相同“跳”的方式先放在同一深度

然后在同一深度用跳的方式找到LCA即可

时间复杂度O(n*logn)

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<cstring>
using namespace std;
stack<int> s;
int f[100001][21],g[100001],dep[100001],n,cnt,T;
int root1;
struct node{
    int nxt,to;
}e[100001];
bool root[100001];
inline void addedge(int x,int y){
    e[++cnt].nxt=g[x];g[x]=cnt;e[cnt].to=y;
}
inline void dfs(int u){
    dep[u]=1;s.push(u);
    while(!s.empty()){
        u=s.top();s.pop();
        if(u!=root1) for(int i=1;i<=20;i++)
                    f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
        else for(int i=0;i<=20;i++)
                    f[u][i]=u;
        for(int i=g[u];i;i=e[i].nxt){
            if(!dep[e[i].to]){
                dep[e[i].to]=dep[u]+1;
                f[e[i].to][0]=u;
                s.push(e[i].to);
            }
        }
    }
}
inline int swim(int x,int h){
    for(int i=0;h;i++,h>>=1)
        if(h&1) x=f[x][i];
    return x;
}
inline int lca(int x,int y){
    if(dep[x]<dep[y]){
        int t;
        t=x;
        x=y;
        y=t;
    }
    x=swim(x,dep[x]-dep[y]);
    if(x==y) return x;
    while(1){
        int i;
        for(i=0;f[x][i]!=f[y][i];i++);
        if(!i) return f[x][0];
        x=f[x][i-1];y=f[y][i-1];
    }
}
inline void init(){
    int u1,v1;
    memset(root,0,sizeof(root));
    memset(g,0,sizeof(g));
    memset(dep,0,sizeof(dep));
    cnt=0;
    for(int i=1;i<=100000;i++)
        for(int j=0;j<=20;j++)
                f[i][j]=0;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1,u,v;i<=n-1;i++){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        addedge(u,v);
        root[v]=1;
    }
    scanf("%d%d",&u1,&v1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(root[i]==0) root1=i;
    f[root1][0]=root1;
    dfs(root1);
    printf("%d\\n",lca(u1,v1));
    return;
}
int main(){
    scanf("%d",&T);
    while(T--) 
        init();
    return 0;
}

P.S.:不要吐槽为什么是dfs QAQ

 

2.tarjan离线

这里安利一下一篇讲的很好的博客

http://alanyume.com/130.html

详细的算法思想就全部在这里了

然后代码实现。。。

各种错误调了半天。。。终于答案正确了但是会多输出正确答案(应该和我没有用离线存然后针对这题强行在线输出有关)，最后在孙大爷的建议下乱插flag插过了。。。

由于不会vector所以对怎么离线存储下来还是有点懵逼

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring> 
using namespace std;
int ind[100001],g[100001],fa[100001],root,cnt,u,v,n,T,flag;
bool vis[100001];
struct node{
    int nxt,to;
}e[100001];
inline void addedge(int x,int y){
    e[++cnt].nxt=g[x];g[x]=cnt;e[cnt].to=y;
}
inline int gf(int x){
    if(fa[x]==x) return x;
    else return fa[x]=gf(fa[x]);
}
inline void marge(int x,int y){
    int fx=gf(x),fy=gf(y);
    if(fx==fy) return;
    else fa[fy]=fx;
}
inline void tarjan(int x){
    if(flag==1) return;
    vis[x]=1;    
    for(int i=g[x];i;i=e[i].nxt){
        tarjan(e[i].to);
        marge(x,e[i].to);
    }
    if(flag) return;
    if(x==u&&vis[v]==1){
        printf("%d\\n",gf(v));
        flag=1;
        return;
    }
    if(flag) return;
    if(x==v&&vis[u]==1){
        printf("%d\\n",gf(u));
        flag=1;
        return;
    }
    if(flag) return;
}
inline void clear(){
    memset(fa,0,sizeof(fa));
    memset(g,0,sizeof(g));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(ind,0,sizeof(ind));
    cnt=0;flag=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        fa[i]=i;
}
inline void init(){
    scanf("%d",&n);
    clear();
    for(int i=1;i<=n-1;i++){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        addedge(u,v);
        ind[v]=1;
    }
    scanf("%d%d",&u,&v);
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        if(ind[i]==0){
            root=i;
            break;
        }
    tarjan(root);
}
int main(){
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        init();
    }
    return 0;
}