动规讲解基础讲解四——矩阵取数

Posted 2020-08-25 一蓑烟雨任生平

　　　　给定一个m行n列的矩阵，矩阵每个元素是一个正整数，你现在在左上角（第一行第一列），你需要走到右下角（第m行，第n列），每次只能朝右或者下走到相邻的位置，不能走出矩阵。走过的数的总和作为你的得分，求最大的得分。

　　初看此题，你的思路是什么？ 

 

（1） 贪心？ 先走到大的数再说？看这个例子：

无论你以什么方式走到3，总和都是1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9
我们为了1个3，放弃了那么多个2， 不值啊。如果我们放弃3而走那些2， 得到的和是1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 10
看来贪心是错的！ 因为我们走到最大值时有很多值不能走到了，一个最大值会把我们带沟里去。

（2） 枚举？枚举是万能的嘛。

可以试试，有多少条可能的路径？

你需要往下走(m – 1)次，往右走(n – 1)次，才能走到右下角，一共走m + n – 2步！可行路径的总条数有C(m + n – 2, m - 1)。
每条路径长度是m + n – 1 ，所以总的时间复杂度是O(C(m + n – 2, m – 1) * (m + n – 1))， 试试看m = n = 100时，这个数有多大吧！

没办法了么？

 

 (19899)=22750883079422934966181954039568885395604168260154104734000

想想看，问题有什么性质？

我们只能往右边或者下边走，意味着“不走回头路”,就是说矩阵里面每个位置最多只会经过一次。其实很多地方是“没有机会”经过的。比如我现在在第x行第y列，不管之前走的路径是什么样子，则它左边和上边的位置都是不可能再走到的，对吗？也就是说，我先在在矩阵第x行第y列，并假设以它为原点把矩阵分成四个“象限”，只有第四象限的位置才有可能从这以后经过 （当然还包括横轴的正半轴）！

 

假设我们从起点走到终点的过程中经过第x行第y列某个位置，为了从起点到终点得到的和最大，那么从起点到第x行第 y列这个位置经过的数的和也一定要最大。这几乎是显然的，但是你要刨根问底的话，可能要问为什么会这样呢？

我们定义集合A是从起点到第x行第y列的全部路径集合，定义集合B是从第x行第y列到终点的全部路径集合。那么起点到终点的路径实际上是子路径a∈A和子路径b∈B的连接（注意删掉第x行第y列这个点，否则走了两次了，呵呵)。 

即所有经过第x行第y列的路径都可以划分到A和B这两个集合里，而且任何a∈A和子路径b∈B都可以拼接出一条经过第x行第y列的路径。

那么我要选择一条经过x,y的能得到最大值的路径，显然要选择A集合里路径和最大的a,（其实还要选B集合里和路径和最大的b）。

说了这么多，其实就是想明确一个事：从起点到终点的最优路径上经过了(m + n – 1)个点，则这条路径上对应起点到这(m + n – 1)个点的子路径也都从起点到该位置的所有路径中和最大的路径。

那么假设我们定义f(int x,int y)表示从起点到第x行第y列的最优路径上的数之和，并假设这个矩阵事个二维数组A[][] (下标从1开始)

我们考虑一下，我们如何才能到(x,y)?前一步要么到(x – 1, y)， 要么到(x, y – 1)，因为有且只有这两个位置能到(x,y)，那么怎样才能得到f(x,y)?按我们前面说的，如果从起点达到(x,y)的最优路径要经过(x – 1,y)或者(x,y – 1)则，从起点到达(x – 1,y)或者(x,y – 1)的路径一定也必须是最优的。

那么按照我们对f的定义，我们有从起点达到x,y的最优路径有两种可能：

要么f(x – 1, y) ＋ A[x][y]
要么f(x, y – 1) + A[x][y]

我们要取最优，那自然取较大的

因此有f(x, y) = max(f(x – 1, y) , f(x, y – 1) ) + A[x][y]
这样原来要枚举指数条路径，现在对于每个位置只有两种情况啦。

有了递推关系还不够，有初值才能求解。

那我们看一下 f(1,1)，显然这是在起点，没的选f(1,1) = A[1][1]。

那么按照递推式 f(1,2) = max(f(0, y) , f(1,1)) + A[1][2]， 但是我们对f(0, y)没有定义呀！考虑下实际意义，这表示要么我们从上面到达(1,2)要么从左面到达(1,2)，可是上面没有位置过来啊，这种说明没的选。所以我们可以定义f(0, y) = -∞, 同理我们也可以定义f(x, 0)  = -∞。

那么总结一下我们的递推式



分析一下这个算法的时间复杂度？ 显然是O(m * n)，空间复杂度也一样，因为我们打出了一张(m + 1) * (n + 1)的表格——因此空间也是O(m * n)的。

再走一步？

我们找到了最大的和，如何得到和最大的路径呢？ 还是从递推式入手，我们发现如果f(x,y) = f(x – 1,y) + A[x][y] 则它是从上面过来的，所以前一个位置是(x – 1, y)
否则 f(x, y) = f(x, y – 1) + A[x][y]则它是从左面过来的，所以前一个位置是(x, y- 1)。

这看起来最优路径被唯一确定了？ 不是的，事实上当f(x – 1,y) ＝ f(x, y – 1)时，前一个位置在上面或者左面都可以——所以路径还是很多很多的！

通过这个例子，你是不是对动态规划有了更深刻的理解呢？

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,a[600][600],dp[600][600];
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++){
            cin>>a[i][j];
            dp[i][j]=-999999;
        }    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j])+a[i][j];
    cout<<dp[n][n];
}

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