[常见积性函数的线性筛]学习笔记

Posted 2020-08-24 Candy?

update:2017-04-16

当时写的比较naive，现在还是不要看了

 

【欧拉函数】

φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)...(1-1/pk)

通过上式易发现 p[j]|i时 phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j] 因为phi[i]的n是n*p[j]/p[j]，其他的部分一样

[2017-01-02]

一种更感性的理解

就是说，phi[i]与phi[i*p[j]] 本来i有p[j]这个质因子，他们的差别就只有式子中开始的n了，只要乘上p[j]就可以了

没有p[j]的话，就是*(p[j]-1)/p[j]在处理n的差别*p[j]，最后就是p[j]-1；了

 

证明：http://www.cnblogs.com/candy99/p/6200660.html

void sieve(){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i]){
            p[++m]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=m&&i*p[j]<=n;j++){
            vis[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0){
                phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
                break;
            }
            phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i-1]+phi[i];
}

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【约数个数】

根据乘法原理，n的约数个数为∏{i=1...r}(ai+1)

由上式可得 p[j]|i时 facnum[i*p[j]]=facnum[i]/(minfac[i]+1)*(minfac[i*p[j]]+1)

 

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【约数和】

n=p1^a1*p2^a2*…*pr^ar 
则其约数和=∏{i=1...r}(Σ{j=0..aj}pi^j) 就是考虑每个约数中的每个质因子选的指数
p[j]|i时，得到sumfac[i*p[j]]   (一下分析中a省去在那个数中)
需要除以Σ{i=1...a[minfac[i]]}p[j]^i
再乘以Σ{i=1...a[minfac[k]]}p[j]^i
其中a[minfac[k]]=a[minfac[i]]+1 
这样开两个辅助数组记录 
t1[i]=Σ{i=0...a[minfac[i]]}minfac[i]^i
t2[i]=mindiv[i]^a[minfac[i]]

int notp[N],p[N],mu[N],minfac[N],t1[N],t2[N],sf[N];

void sieve(){
    mu[1]=1;
    sf[1].s=1;
    for(int i=2;i<N;i++){
        if(!notp[i]){
            p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;
            minfac[i]=i;
            sf[i]=i+1;
            t1[i]=i+1;
            t2[i]=i;
        }
        for(int j=1,k;j<=p[0]&&(k=i*p[j])<N;j++){
            notp[i*p[j]]=1;
            minfac[k]=p[j];
            if(i%p[j]==0){
                mu[i*p[j]]=0;
                t2[k]=t2[i]*p[j];
                t1[k]=t1[i]+t2[k];
                sf[k]=sf[i]/t1[i]*t1[k];
                break;
            }
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
            t1[k]=1+p[j];
            t2[k]=p[j];
            sf[k]=sf[i]*sf[p[j]];
        }
    }
}

 还有一种方法，每个数i暴力更新倍数，时间也差不多