康托展开与八数码问题

Posted 2020-08-24 TopCoderのZeze

康托展开的公式是 X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 其中，ai为当前未出现的元素中是排在第几个（从0开始）。

举个例子来说明一下：

例如，有一个数组 s = ["A", "B", "C", "D"]，它的一个排列 s1 = ["D", "B", "A", "C"]，现在要把 s1 映射成 X。

n 指的是数组的长度，也就是4，所以

X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0!

关键问题是 a4、a3、a2 和 a1 等于什么？

a4 = "D" 这个元素在子数组 ["D", "B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，"D"是第3大的元素，所以 a4 = 3。
a3 = "B" 这个元素在子数组 ["B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，所以 a3 = 1。
a2 = "A" 这个元素在子数组 ["A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"C"是第1大的元素，所以 a2 = 0。
a1 = "C" 这个元素在子数组 ["C"] 中是第几大的元素。"C" 是第0大的元素，所以 a1 = 0。（因为子数组只有1个元素，所以a1总是为0）

所以，X(s1) = 3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20

 

八数码解法一：广搜+哈希

　　考虑到费时主要在STL，对于大规模的遍历，用到了ST的set和string，在效率上的损失是很大的，因此，现在面临一个严重的问题，必须自己判重，为了效率，自然是自己做hash。有点麻烦，hash函数不好想，实际上是9！种排列，需要每种排列对应一个数字。网上搜索，得知了排列和数字的对应关系。取n!为基数，状态第n位的逆序值为哈希值第n位数。对于空格，取其为9，再乘以8!。例 如，1 3 7 24 6 9 5 8 的哈希值等于：0*0! + 2*1! + 0*2! + 1*3! + 3*4! +1*5! + 0*6! + 1*7! + 0*8! <9!具体的原因可以去查查一些数学书，其中1 2 34 5 6 7 8 9 的哈希值是0 最小，9 8 7 6 54 3 2 1 的哈希值是（9!-1）最大。而其他值都在0 到（9!-1） 中，且均唯一。然后去掉一切STL之后，甚至包括String之后，得到单向广搜+Hash的代码，算法已经可以在三秒钟解决问题，可是还是不够快！POJ时限是1秒，后来做了简单的更改，将路径记录方法由字符串改为单个字符，并记录父节点，得到解，这次提交，266ms是解决单问题的上限。当然，还有一个修改的小技巧，就是逆序对数不会改变，通过这个，可以直接判断某输入是否有可行解。由于对于单组最坏情况的输入，此种优化不会起作用，所以不会减少单组输入的时间上限。