求最大公约数（GCD）的两种算法

Posted 2020-08-23 codinRay

之前一直只知道欧几里得辗转相除法，今天学习了一下另外一种、在处理大数时更优秀的算法——Stein

特此记载

 

1.欧几里得（Euclid）算法

又称辗转相除法，依据定理gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

实现过程演示： sample：gcd(15,10)=gcd(10,5)=gcd(5,0)=5

C语言实现：

1 int Euclid_GCD(int a, int b)
2 {
3     return b?Euclid_GCD(b, a%b):a;
4 }

 

2.Stein 算法

一般实际应用中的整数很少会超过64位（当然现在已经允许128位了），对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过 64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算 128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。

依据定理：

gcd(a,a)=a，也就是一个数和其自身的公约数仍是其自身。

gcd(ka,kb)=k*gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换。特殊地，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。

当k与b互为质数，gcd(ka,b)=gcd(a,b)，也就是约掉两个数中只有其中一个含有的因子不影响最大公约数。特殊地，当k=2时，说明计算一个偶数和一个奇数的最大公约数时，可以先将偶数除以2。

 

C语言实现：

 1 int Stein_GCD(int x, int y)
 2 {
 3     if (x == 0) return y;
 4     if (y == 0) return x;
 5     if (x % 2 == 0 && y % 2 == 0)
 6         return 2 * Stein_GCD(x >> 1, y >> 1);
 7     else if (x % 2 == 0)
 8         return Stein_GCD(x >> 1, y);
 9     else if (y % 2 == 0)
10         return Stein_GCD(x, y >> 1);
11     else
12         return Stein_GCD(min(x, y), fabs(x - y));
13 }