最大最小公倍数

Posted 2020-08-23 一点绝不是微小

问题描述

已知一个正整数N，问从1~N中任选出三个数，他们的最小公倍数最大可以为多少。

输入格式

输入一个正整数N。

输出格式

输出一个整数，表示你找到的最小公倍数。

样例输入

9

样例输出

504

数据规模与约定

1 <= N <= 106。 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
long long n, l;
while(scanf("%d", &n)!=EOF){
if(n%2!=0)//n为奇数 

{ 
l = n*(n-1)*(n-2);
}
else if(n%3!=0)//n不可以被3整除

{ 
l = n*(n-1)*(n-3);
}
else{
l = (n-1)*(n-2)*(n-3);
}
printf("%lld\n", l);
}
return 0;
}

思路

一看给的数据范围那么大，时间还1s，暴力是绝对超时的，这时候就要想，肯定是有数学规律在的。要清楚下面两个定理：

定理1：大于1的两个相邻的自然数必定互质 
定理2：两个数的最小公倍数在最大的情况就是当两个数互质的时候，他们的最小公倍数就是这两个数的乘积

这时候就好了，我们需要找三个互质的数，让他们三个乘积最大就OK啦，肯定是从n往下乘了，但这时候三个连续的数，有两种情况使其互质

1. 偶 X 奇 X 偶 
2. 奇 X 偶 X 奇

这时候就考虑n的奇偶性了：

1. n为奇数 
此时，n*(n-1)*(n-2)中，n，n-2为奇数，n-1为偶数，即肯定不存在公因数2，因为这三个连续的数变化范围不超过3，所以就算有一个数是3的倍数，也不会存在第二个数是3的倍数，即这三个数字都是互质的。

2. n为偶数 
此时，n*(n-1)*(n-2)中，有两个偶数，即存在公因数2，也就是说最小公倍数要除2了，就不是最大了的。所以不能存在 偶 X 奇 X 偶 这种情况，就让(n-2)变为(n-3)，大的数尽量不变嘛，这时候呢，又恢复到了 奇 X 偶 X 奇 的情况。

此时要考虑了，n和n-3之间，差了3，即如果n是3的倍数，n-3也一定是3的倍数，所以当n不是3的倍数的时候，n*(n-1)*(n-3)是ok的

当n是3的倍数的时候，(n-1)(n-2)(n-3)，又恢复了 奇 X 偶 X 奇 的情况了，OK！