篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了802.11协议精读13：协议理论性能（Bianchi模型）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

序言

为了更好理解一些802.11的后续设计，我们需要深入了解一下802.11的协议性能。我们之前简单描述了下协议性能的部分，这一段我们讨论下具体数学模型下的802.11性能（Bianchi模型）。

Bianchi模型出自于论文《Performance Analysis of the IEEE 802.11 Distributed Coordination Function》，该论文在2000年的时候发表在JSAC（IEEE Journal on selected areas in communications）上，根据google scholar上的记录，该论文的他引次数已经高达8267次（相应的资源：bianchi模型）。其实关于802.11的理论性能从协议刚开始出来的时候就有人研究，直到现在，这个问题还是在继续研究中，该论文是这个领域中最为有代表性的一篇文章，故凡是做802.11协议的，都会阅读理解这篇文章。

PS：本文并不是按照Bianchi原文以推导的形式给出，而是为了方便理解进行的倒叙。其中部分表述和定义如果存在一些错误，还请见谅。

Bianchi模型的假设

我们首先列举一些Bianchi模型中，所设定的一些假设。

Single-cell Network：可以简单认为是个单信道环境，即所有节点共享一个功能信道，并且这个网络中，所有的节点都是互相可以监听到对方的。
The collision processes of the nodes can be decoupled：即无论节点重传了几次，其在传输时候的冲突概率都是一个定值，且都是相对独立的。
Channel conditions are ideal：信道是一个理想信道，即传输错误仅仅由于传输碰撞造成，与物理层的信道质量无关。且由于Single-cell的假设，所有节点都可以互相监听，所以网络中也没有隐藏和暴露终端问题。
Saturation throughput：Bianchi模型分析为饱和情况下的吞吐量，即任意一个节点都是假设有数据包的，不存在节点竞争到信道之后，没有数据包待发送的情况出现。
No packet dropped：按照协议所述，如果数据包发送失败，节点是可以发起重传的。这个重传次数上限为6次，如果超过该次数，那么就需要丢包。而在Bianchi模型中，保留的重传次数上限为6次的这个设置，不过没有设定6次以后进行丢包，而是一直保持在第6次这个zhu

MAC层效率（归一化吞吐量）

在之前的一篇文章中，我们定义了MAC层的归一化吞吐量为传输真实数据（Data）的时间占总传输时间（Overhead + Data）的比例。

在Bianchi模型中，其具体定义如下（部分表述有稍微修饰一下）

其中 $S$ 为归一化吞吐量（注：本文讨论的吞吐量都是系统的吞吐量，没有具体到某一个节点的吞吐量上，而是所有节点整体的吞吐量），分子分母都是一个数学期望，实际上就是平均时间。分母代表的是Generic slot（这个后面我们说明，与DCF中的标准slot时间存在区别），分子定义的是在这个Generic slot内，传输数据的时间。不严格的说，其物理意义和我们之前一篇描述的定义是一样的。

Generic Slot：这个是一个随机选择的时间，其与802.11中DCF的具体接入机制有关。一般意义上，我们理解其物理意义就是Backoff counter倒数1次的时间间隔。

如上图为Generic slot的3种可能取值。其中 $\\sigma$ 代表协议中的slot时间（比如802.11g中的9μs）， $T_{s}$ 为成功传输所花费的总时间， $T_{c}$ 为碰撞一次所花费的总时间。 $P_{tr}$ 为至少有一个节点准备发送的概率， $P_{s}$ 为成功传输的概率（实际上理解成只有1个节点传输的概率，如果有多个那么就会造成冲突）。我们进一步阐述如下：

情况1 — $\\sigma$ ：若节点在Backoff过程中，经过1个slot，backoff counter未倒数到0。这个概率为 $1-P_{tr}$ ，消耗的时间就是一个slot，即 $\\sigma$ 时间。

若节点经过这个slot，backoff counter正好倒数到0，那么节点就会发送数据（即概率 $P_{tr}$ ）。但是发送后，这里还存在两种情况，一者发送成功，一者发送失败。

情况2 - $T_{s}$ ：若节点成功发送该数据，那么损耗时间为 $T_{s}$ ，其对应概率为 $P_{tr}*P_{s}$ ，即不仅发送，且发送成功。
情况3 - $T_{c}$ ：若节点发送数据，但是由于冲突（比如多个节点backoff counter倒数同时至0），那么这个数据帧是没有无法成功被接收的，这个损耗的时间就是 $T_{c}$ 。其对应概率为 $P_{tr}*\\left( 1-P_{s} \\right)$ ，即虽然发送，不过发送失败。

具体的 $T_{s}$ 和 $T_{c}$ 还与节点的工作模式有关（Basic模式或者RTS/CTS模式），我们分别解释：

Basic模式：该模式的简单流程如下图：

其中 $T_{s}$ 和 $T_{c}$ 的时间如下：

其中 $H$ 代表物理层头部的传输时间， $SIFS$ 和 $DIFS$ 都是协议给定的帧间间隔， $ACK$ 为协议给定的ACK帧的传输时间， $\\delta$ 为电磁波传播延迟（DATA-ACK过程由于是一来一回，所以传播延迟是两个）。 $E\\left[ P \\right]$ 为payload的期望，代表数据包（MSDU）传输时间的均值。 $E\\left[ P^{*} \\right]$ 代表的是发生冲突时，冲突中较长数据帧的均值，因为冲突只有在较长数据帧发送完之后，信道才被释放。

RTS/CTS模式：该模式的简单流程如下图：

其中 $T_{s}$ 和 $T_{c}$ 的时间如下：

其中 $RTS$ 和 $CTS$ 代表其数据帧对应的传输时间。上图中我们可以发现，RTS/CTS模式下，虽然传输时间是相应增加了（由于引入了RTS/CTS握手），但是冲突损耗是减少了。该设计能够保证，这个在节点较多的情况下（即碰撞概率较大的情况下），RTS/CTS的性能受到较小的影响。

本文为了简化，我们直接假设所有节点的数据包大小是一个定值，从而 $E\\left[ P \\right]$ 就等于传输这个数据包所花费的时间，且 $E\\left[ P \\right] =E\\left[ P^{*} \\right]$ 。（在bianchi原文中没有进行该假设，只是为了简化本文的叙述，所以我们做数据包大小为定值的假设）

综合以上的Generic slot和其对应时间，我们可以具体给出归一化吞吐量 $S$ 的具体计算公式。

其中分母就是Generic slot的均值（即事件概率乘以其对应时间），分子为在一个Generic内，成功传输数据（MSDU）部分的时间。

传输概率（ $P_{tr}$ ）和成功传输概率（ $P_{s}$ ）

前面我们给出了归一化吞吐量 $S$ 的表达式，该式中，由于 $T_{s}$ 和 $T_{c}$ 中的参数都是协议给定。为了计算吞吐量，我们只要求出概率 $P_{tr}$ 和 $P_{s}$ 就行了。

$P_{tr}$ ：其物理意义是至少有一个节点，在这个slot内准备传输。这里 $\\tau$ 指的是发送概率， $n$ 指的是总的竞争节点数目（由于假设是one-cell network，并且饱和吞吐量，所以所有节点都在竞争信道）。我们可以这样理解 $P_{tr}$ 的物理意义： $\\left( 1-\\tau \\right)$ 代表其中某 $1$ 个节点没有发送的概率， $\\left ( 1-\\tau \\right )^{n}$ 所有节点都没有发送的概率，所以其反面， $1-\\left ( 1-\\tau \\right )^{n}$ 就是至少有 $1$ 个节点可以发送的概率了。

$P_{s}$ ：这个实际上是个条件概率，物理意义是在有节点发送的前提下（即分母的 $P_{tr}$ ），成功传输的概率（即有且只有一个节点正在传输）。分子我们可以这样理解： $\\tau^{1} * \\left( 1-\\tau \\right) ^{n-1}$ ，其中 $\\tau^{1}$ 代表代表有 $1$ 个节点正在发送， $\\left( 1-\\tau \\right) ^{n-1}$ 代表其余 $n-1$ 个节点都没有发送，即有且只有一个节点发送，那么才没有冲突。又是因为这个节点没有固定下来说，具体某一个节点，所以要做个排列组合，即一共 $n$ 个节点，即 $n$ 中情况，所以分子再乘以 $n$ 。

上面我们介绍了 $P_{tr}$ 和 $P_{s}$ 的具体表达式，其中 $n$ 是节点数目，所以一般也是给定的。所以最后剩下来的参数就是 $\\tau$ 了，我们需要对该参数进行分析。

发送概率（ $\\tau$ ）和冲突概率（ $p$ ）

通过以上分析，我们最终只要知道每一个节点的发送概率 $\\tau$ 就可以求出吞吐量了，但是这个 $\\tau$ 就没有那么好求了，其主要是源于802.11协议中，发送和冲突是互相影响的。发送概率 $\\tau$ 中包含了冲突概率 $p$ ，而冲突概率 $p$ 中也包含了发送概率 $\\tau$ 。

以下我们描述一下bianchi模型中具体分析的过程。bianchi模型实际上采用了一个二维的Markov chain，具体如下图：

我们先简单说明下其中的一些参数，然后在具体讨论。每一横行代表的是一次Backoff过程，每一纵行代表的是一次二进制指数增加CW窗口大小的过程。以第1行为例说明如下：

状态 $\\left( 0,W_{0}-1 \\right)$ ， $0$ 代表是第0次的Backoff过程（即CW窗口是默认大小）， $W_{0}-1$ 代表Backoff counter选取数值为 $W_{0}-1$ （由于CW范围是从0开始，所以最大数值为 $CW-1$ ）， $W_{0}$ 就是第0次Backoff时候的CW大小。
状态 $\\left( 0,W_{0}-1 \\right)$ 转移至 $\\left( 0,W_{0}-2 \\right)$ 代表了1次Backoff counter的回退（如图中红色1标识），其概率为 $1$ （因为不存在碰撞）。
当Backoff counter倒数至0后，即转移至状态 $\\left( 0,0 \\right)$ 时，节点可以发送数据。
- 若发送成功（即概率 $1-p$ ），如图中红色2标识，就需要重新在CW窗口内选择一个随机数（即某个随机数被选中的概率为 $1/ W_{0}$ ），并转移到该状态（比如转移到状态 $\\left( 0,1 \\right)$ ，其转移概率为 $\\left( 1-p \\right) / W_{0}$ ）。
- 若发送失败（即概率 $p$ ），如图中红色3标识，那么需要首先调节CW窗口大小（指数为2增长），即 $W_{0}$ 变为 $W_{k}$ ，在第二轮中， $k=1$ 。然后节点需要在更新后的CW窗口大小 $W_{1}$ 中选择一个随机数（概率为 $1/ W_{1}$ ），并转移至该状态（比如转移到状态 $\\left( 1,1 \\right)$ ，其转移概率为 $p / W_{1}$ ）。
在Bianchi模型中，假设是没有丢包过程的。而二进制指数回退并不是上限无穷的增加CW窗口，其有个最大次数 $m$ 次，在bianchi模型中。如果节点第m次回退后，还是发送失败，则不增加CW窗口大小，而是直接在这一轮设置的CW大小（ $W_{m}$ ）中，直接选择一个随机数进行重传（这个概率就是 $p / W_{m}$ ）。

更一般的我们用数学标识即是下面的式子：

下面我们先表示冲突概率

由于Bianchi模型中，已经假设节点之间的冲突过程是相对独立的。假设我现在是某个节点，我已经处于发送状态，所以剩余的 $n-1$ 个节点都不能够发送（即概率 $\\left( 1-\\tau \\right) ^{n-1}$ ），如果有任意一个也处于发送状态（即概率 $1-\\left( 1-\\tau \\right) ^{n-1}$ ），那么就会发生冲突。

最终我们考虑发送概率 $\\tau$ ，参考下图

协议规定，如果节点Backoff counter倒数到0，那么就可以进行发送。由于节点可能处在不同的backoff状态（即初次传输，重传1次，重传2次等等），所以我们需要对转移到这些状态的概率做一个累加，即：

其中 $m$ 代表CW最多增加 $m$ 次， $i$ 是个index，代表第 $i$ 次Backoff过程， $b$ 代表状态， $b_{i,0}$ 代表第 $i$ 次Backoff counter倒数到0。因为每一次发送完之后，节点都必须要转移到状态 $\\left( 0,0 \\right)$ 。所以我们可以直接计算转移到状态 $b_{0,0}$ 的条件概率。即如果发送没有发生冲突（即概率 $1-p$ ），状态转移至 $b_{0,0}$ 的概率（即 $\\frac{b_{0,0}}{1-p}$ ）。

最后我们表示出 $b_{0,0}$ 状态时候的稳态概率即可

这个概率的物理意义有些繁杂，我们就不进行展开了，最终我们可以计算发送概率为：

从而获得以下的一个联立的方程（其中上式的 $\\tau$ 和下面的联立表达还有一个参数带入的步骤，具体可以参考论文，这里直接跳跃到下面的结果了）：

我们看到上面的表达中， $p$ 表达式中包含 $\\tau$ ，同样 $\\tau$ 中表达式也包含 $p$ 。故我们需要采用fix-point的方法，才可以对其进行求解。具体求解方法我们在下一篇文章中进行讨论。

结果分析

以下我们直接参考Bianchi论文中给出的结果，大致说明一下：

上图横轴代表节点数目（节点数目从0到50），纵轴代表归一化吞吐量（即范围从0~1，图中是从0.5开始绘制）。图中一共绘制5组结果：

$\\triangle$ 代表Basic模式下，初始的CW窗口设置为32，CW窗口可以回退增大3次。
$\\square$ 代表Basic模式下，初始的CW窗口设置为32，CW窗口可以回退增大5次。
$\\circ$ 代表Basic模式下，初始CW窗口设置为128，CW窗口可以回退增大3次。

从这三组值的对比上可以看出，节点数越多，Basic模式的性能越差。其基本原因就是冲突概率的增加。通过增加CW窗口大小的方法，能够一定程度上避免冲突问题，所以能够缓解随着节点数增加，而造成的吞吐量下降。初始设置更大的CW比增加回退次数要更有效一些。

$\\ast$ 代表RTS/CTS模式下，初始的CW窗口设置为32，CW窗口可以回退增大3次。
$\\diamond$ 代表RTS/CTS模式下，初始的CW窗口设置为128，CW窗口可以回退增大3次。

在RTS/CTS模式下，可以发现其吞吐量相比Basic模式，能够在节点数较多的时候，受到较小的影响，其基本原因在于冲突损耗上。Basic模式冲突一次是损失了一个数据帧的时间，而RTS/CTS模式下，冲突一次仅仅损耗了一个RTS时间。同时我们还可以看到，由于冲突损失较小的情况下，我们没有必要设置更大的CW窗口大小，因为更大的窗口大小就意味着更多的回退次数，从而消耗更多的时间。

以上是关于802.11协议精读13：协议理论性能（Bianchi模型）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

802.11协议精读13：协议理论性能（Bianchi模型）

序言

Bianchi模型的假设

MAC层效率（归一化吞吐量）

传输概率（）和成功传输概率（）

发送概率（）和冲突概率（）

结果分析

传输概率（ $P_{tr}$ ）和成功传输概率（ $P_{s}$ ）

发送概率（ $\\tau$ ）和冲突概率（ $p$ ）