排序算法之堆排序（优先队列）

Posted 2020-08-22 wzb的QQ空间

1、堆排序的堆，其实是一个 完全二叉树。既是一个结点要么是叶子结点，要么必定有左右两个子节点的树。

2、堆有序：每个结点的值，都必须大于两个子节点。但是两个子结点的大小不作要求。

3、一棵大小为N的完全二叉树，高度为lgN（层）。

 

用数组实现堆，假设数组下标从0开始，下标为k的元素，它的左子树是2k+1，右子树是左子树+1，即2k+2

 

一：由上至下的有序化（下沉）

如果堆的有序状态，因为某个结点比它的两个子结点或者其中之一小而打破了，那么可以通过与两个子结点中的较大者来交换。

交换后可能会在子结点处打破原有序状态，那么只需要继续下沉，直至叶子结点。

因为是在子树中做交换，对树的其他分支并没有影响。

//下沉维护堆
	public static void sink(int[]a,int k,int N){
		
		
		
		while(2*k+1<=N){
			
			
			int j = 2*k+1;//左孩子的下标
			
			//j<N,说明存在右孩子
			//a[j]<a[j+1]，左孩子小于右孩子
			if(j<N&&a[j]<a[j+1]) 
				j++;
			
			//如果根结点并没有小于他的孩子，不用下沉了
			if(!(a[k]<a[j]))
				break;
			
			//否则
			Example.exch(a, k, j);
			
			//交换后，更改当前，继续下沉
			k=j;
			
			
		}//end while
		
		
		
	}//end sink

 

二：下沉实现的堆排序（原地排序）

1、构建堆

对于一个普通的数组，我们可以将他看成一个无序的堆。

要使用堆排序，第一步就要将该数组构造成一个有序堆。

一个简单的思想是，创建一个新数组，通过堆的插入元素方法，一个一个插入原数组的元素，进而完成一个新堆。

其实并不需要，我们只要将前N/2的元素，下沉到合适的位置即可，此时堆即有序，后N/2全是叶子结点，无需下沉。

 

2、下沉排序

根据定义，根结点，既是数组的0位元素，永远是有序堆的最大值。

所以我们只需要将它和数组最后一个元素交换位置，再将大小为N-1的数组（除去最后一个元素，因为他是最大值，放在最后），从新构建成一个新堆即可。怎么构建呢？就是把新的0号元素下沉到适合的位置。

如此往复，即可得到一个有序的数组。

//下沉排序
	public static void sort(int []a){
		
		
		//构建堆
		//一开始可以将数组看作无序的堆
		//将从下标为N/2开始一直到0的元素下沉到合适的位置即可。N/2后面的元素，其实都是叶子结点，无需下沉。
		int N = a.length-1;
		
		for(int k = N/2;k>=0;k--){
			
			sink(a,k,N);
			
		}
		
		
		
		
		//下沉排序
		//堆的根结点永远是最大值，我们只需将最大值和最后一位的元素互换位置。然后再维护一个除原最大结点以外的N-1的堆，再将新堆的根节点放在倒数第二的位置。如此反复
		
		while(N>0){
			
			Example.exch(a, 0, N--);
			sink(a,0,N);
			
		}
		
		
	}//end sort

 

时间复杂度：

主要是下沉，其实下沉的时间复杂度非常直观，每次下沉，结点的高度-1，一棵树的高度是lgN，所以从0号位下沉到最后一位（最坏情况），也只是lgN。

后面我们在下沉排序里面对每个元素其实都进行了下沉，所以总的来说是NlgN。

 

空间复杂度：

我们在该算法中，并没有用到临时变量或者新建的数组，所以不需要额外的空间。复杂度是常数。

 

稳定性：

不稳定