无向图的结合点

Posted 2020-08-22 KennyRom

定义：图G(V,E)是连通图，顶点集S是V的子集，若删除S中的所有顶点，将是图不连通，称S是图G的割集。若S={v}，则称v为图G的割点（或结合点）。

如果一个无向图没有结合点，该图称为双连通图

 

结合点的性质：

性质1: 当且仅当深度优先搜索树的根结点至少有两个以上儿子，则根结点是结合点。

性质2: 当且仅当深度优先搜索树中，v的每以一个儿孙结点不能通过后向边到达v结点的祖先结点，则结点v是结合点

 

在进行遍历时，有向图的边，可以分为：

   树边：深度优先搜索生成树中的边；

   后向边： 与边（u, v）相关联的顶点u和v，在深度优先搜索树中，v是u的祖先，在从（u, v）出发进行搜索时，v已被标记过为访问过的结点；

 

求结合点的方法：

对每个顶点v，设立变量pren[v]和backn[v]，pren[v]是顶点v的遍历序号，backn[v]是顶点v的后向可达顶点的最小遍历序号；

初始时，backn[v] = pren[v];

若[v，w]是从顶点v出发进行搜索的边，则backn[v]是下列数值中最小者

* pren[v]

* pren[w]，若(v,w)是后向边

* backn[w]，若(v, w)是树边

 

只要顶点v有一个儿子w，使得backn[w]>=pren[v]，则说明v的儿孙w不能通过后向边达到v的祖先，因此v是接合点。

 

算法流程：

从v顶点开始搜索：

（1）把v标记为访问过，初始化pren[v]，backn[v]，使得指针p指向v的邻接表；

（2）若p为空，处理搜索到的接合点的计数，算法结束；否则，令p指向的邻接点是w；若(v, w)是树边，执行步骤3)，否则执行5）

（3）从w出发递归调用深度优先搜索算法，若v是根结点，按照性质1判定v是否为接合点，否则更新v的后向可达顶点的遍历序号，按性质2判定v是否为接合点；

（4）使得p指向下一个邻接点，转步骤2）

（5）若(v, w)是后向边，更新v的后向可达顶点顶点的遍历序号，转步骤4）