Codeforces 628D 数位dp

Posted 2020-06-16

题意：d magic number（0<=d<9）的意思就是一个数，从最高位开始奇数位不是d,偶数位是d

题目问，给a,b,m,d(a<=b,m<2000)问，a,b之间有多少个数满足既是d magic number，又可以被m整除

a,b的范围很大，都是2000位,且a,b的位数一样，这一点很重要

 

分析：这题一看又有取模，又是大整数，那肯定是要用数位dp做，

通常的数位dp，我们要解决（0，x)的区间中的答案，但是这个题不需要，

注意刚才我说过一点，a,b是位数相同的整数，假设solve()函数能解决x到和它同位的最小整数的区间范围内的答案

那么最终答案，就是solve(b)-solve(a)+is(a),

这样我们的工作就简单了，不需要统计位数比它小的数

 

我们从高位开始进行dp

下面定义状态

1: dp[i][j][1],代表现在处理到第 i 位 且前缀 i 位形成的整数n%m=j 的 方案数，且现在形成的整数等于上限

2: dp[i][j][0],代表现在处理到第 i 位 且前缀 i 位形成的整数n%m=j 的 方案数，且现在形成的整数小于上限

那么状态转移方程就很好想了

设字符串长度为n  那么时间复杂度是O(nm)的

 

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2e3+5;
const int mod = 1e9+7;
int dp[N][N][2],num[N],m,d;
char a[N],b[N];
int solve(char *s)
{
    int l=strlen(s+1);
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1; i<=l; ++i)
        num[i]=s[i]-‘0‘;
    for(int i=1; i<=9; ++i)
    {
        if(i==d)continue;
        if(i<num[1])++dp[1][i%m][0];
        else if(i==num[1])++dp[1][i%m][1];
    }
    for(int i=2; i<=l; ++i)
    {
        if(i%2==0)
        {
            for(int j=0; j<m; ++j)
            {
                int cur=(j*10+d)%m;
                dp[i][cur][0]=(dp[i][cur][0]+dp[i-1][j][0])%mod;
                if(d<num[i])
                    dp[i][cur][0]=(dp[i][cur][0]+dp[i-1][j][1])%mod;
                else if(num[i]==d)
                    dp[i][cur][1]=(dp[i][cur][1]+dp[i-1][j][1])%mod;
            }
        }
        else
        {
            for(int k=0; k<10; ++k)
            {
                if(k==d)continue;
                for(int j=0; j<m; ++j)
                {
                    int cur=(j*10+k)%m;
                    dp[i][cur][0]=(dp[i][cur][0]+dp[i-1][j][0])%mod;
                    if(k<num[i])
                        dp[i][cur][0]=(dp[i][cur][0]+dp[i-1][j][1])%mod;
                    else if(k==num[i])
                        dp[i][cur][1]=(dp[i][cur][1]+dp[i-1][j][1])%mod;
                }
            }
        }
    }
    return (dp[l][0][0]+dp[l][0][1])%mod;
}
int judge(char *s)
{
    int l=strlen(s+1),sum=0;
    for(int i=1;i<=l;++i)
    {
        int x=s[i]-‘0‘;
        if(i%2&&x==d)return 0;
        if(!(i%2)&&x!=d)return 0;
        sum=(sum*10+x)%m;
    }
    if(!sum)return 1;
    return 0;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%s%s",&m,&d,a+1,b+1);
    int ans=(solve(b)-solve(a)+judge(a)+mod)%mod;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

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