Noip2016day2 组合数问题problem

Posted 2020-08-22 Soda

题目描述

组合数表示的是从n个物品中选出m个物品的方案数。举个例子，从（1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有（1,2),(1,3),(2,3)这三种选择方法。根据组合数的定 义，我们可以给出计算组合数的一般公式：

 

其中n! = 1 × 2 × · · · × n

小葱想知道如果给定n,m和k，对于所有的0 <= i <= n，0 <= j <= min(i,m)有多少对 (i,j)满足是k的倍数。

输入输出格式

输入格式：

第一行有两个整数t,k，其中t代表该测试点总共有多少组测试数据，k的意义见 【问题描述】。

接下来t行每行两个整数n,m，其中n,m的意义见【问题描述】。

输出格式：

t行，每行一个整数代表答案。

输入输出样例

输入样例#1：

1 2

3 3

输出样例#1：

1

输入样例#2：

2 5

4 5

6 7

输出样例#2：

0

7

说明

【样例1说明】

在所有可能的情况中，只有是2的倍数。

【子任务】

 

思路

这是一道数论题

首先要知道组合数的一般递推公式，它的递推公式和杨辉三角是一样的

c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j]

（解释：c[i][j]即为从i件物品中选j件的方案数。如果第i件物品不选，方案数就变为c[i-1][j]，如果选第i件物品，方案数就变为c[i-1][j-1]，总方案数就为两种情况的方案数之和）

为了不爆long long，每次求出c[i][j]后先模一下k

为了节约时间，进行二维求和，最后直接查找答案

#include<iostream>
using namespace std;
int n,m,t,k;
int c[2001][2001],s[2001][2001];
void get_c()
{
    for(int i=0;i<=2000;i++)
    {
        for(int j=0;j<=i;j++)
        {
            if(i==0&&j==0)c[i][j]=1%k;
            else
            {
                c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%k;
            }
        }
    }
}
void get_s()
{
    if(c[0][0]==0)s[0][0]=1;
    for(int i=0;i<=2000;i++)
    {
        for(int j=0;j<=i;j++)
        {
            if(i==0&&j==0)continue;
            else
            {
                if((i==0&&j)||(i==j)){
                    s[i][j]=s[i][j-1];
                    if(c[i][j]==0)s[i][j]++;
                }
                else if(i&&j==0){
                    s[i][j]=s[i-1][j];
                    if(c[i][j]==0)s[i][j]++;
                }
                else if(i&&j)
                {
                    s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
                    if(c[i][j]==0)s[i][j]++;
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>t>>k;
    get_c();
    get_s();
    while(t--)
    {
        cin>>n>>m;
        cout<<s[n][min(n,m)]<<endl;
    }
}