数学与猜想的内容简介

Posted 2023-03-23

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《数学与猜想》(第1卷)通过许多古代著名的猜想，讨论了论证方法，阐述了作者的观点：不但要学习论证推理，也要学习合情推理，以丰富人们的科学思想，提高辩证思维能力，《数学与猜想》(第1卷)的例子不仅涉及数学各学科，也涉及到物理学，全书内容丰富，谈古论今，叙述生动，能使人看到数学中真正的奥妙。全书共分两卷，第一卷为数学中的归纳和类比，第二卷为合情推理模式，此册为第一卷，主要讲述数学中各种合情推理的实例。《数学与猜想》(第1卷)可供大学数学系师生、中学数学教师，数学研究人员及数学爱好者阅读。

对于数学猜想如何得到证实

就是有一个猜想想得到有知名度的机关的证实

学会数学猜想 感受数学发现

如何寓数学的思想方法于数学的发现、探索、研究之中，又如何能够寓数学的思想方法于数学教学之中，是无数热爱数学研究、热爱数学教育的学者与教师一生追求的目标。像哥德巴赫猜想、费马猜想等许许多多世界数学巅峰之作无不历经观察与实验、归纳、类比与联想、直觉与猜想、推理与证明的数学思维过程。

美籍数学家、数学教育家波利亚（1887～1985）的三部著作《怎样解题》、《数学发现》、《数学与猜想》早已风靡全球的事实，充分说明了人们已不再认为数学发现与创造的过程仅是世界顶级数学家的数学游戏，人们不想仅为那些“高深”的数学理论与发现欢呼雀跃，更希望能够分享数学发现的过程、数学探索的方法，即合情推理（归纳推理、类比推理）与演绎推理。由此可见“推理与证明”在数学发现与探索中的重要意义与作用。

通过对问题解决过程、特别是对已有成功实践的深入研究，波利亚发现：可以机械地用来解决一切问题的“万能方法”是不存在的；在问题解决的过程中,人们总是针对具体情况,不断地向自己提出有启发性的问题或提示,以启动并推进思维的进程；因此,他试图总结出一般的方法或模式,这些方法和模式在以后的问题解决活动中起到了重要的启发和指导作用。波利亚很早就注意到“数学有两个方面：用欧几里得方式提出的数学是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学。”因此,他明确提出了两种推理：合情推理与演绎推理，演绎推理可用来确定数学知识，合情推理可用来为猜想提供依据。而且在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。

许多数学问题、数学猜想，包括世界著名难题的解决，往往是在对数、式或图形的直接观察、归纳、类比、猜想中获得方法，而后再进行逻辑验证；同时随着问题的解决，使数学方法得到提炼、数学研究范围得到拓展、使数学不断地前进与发展。费马通过对勾股定理的研究大胆地提出了费马猜想！为了寻找这个猜想的证明方法，许多数学家投入了毕生的精力，在上世纪被英国数学家怀尔斯证明，最终形成了费马大定理。这个被数学家希尔伯特称作会下“金蛋”的老母鸡，本身是用合情推理的方法提出的。在长达几个世纪的探索中，数学家们的创造过程无不蕴涵着合情推理。因此，从某个方面来说，合情推理促进了数学的发现，更推动了数学的发展，最终形成了欧拉定理、哥德巴赫猜想、四色问题等诸多世界数学史上的奇葩。

哥德巴赫猜想是数学皇冠上一颗“明珠”。自1742年提出以来，已历经两个半世纪的探索。虽然至今尚未被人证实猜想的正确性，也无人能够给以否定，但围绕这个猜想所作的研究，却积聚了众多的资料与成果，可以说哥德巴赫猜想的研究，已达到了非常精深的境界。

1742年的一天，哥德巴赫在纸上写下了一串等式：

6=2+2+2, 7=2+2+3， 8=2+3+3， 9=3+3+3， 10=2+3+5， 11=3+3+5…

他终于按捺不住，写信告诉欧拉，说他想冒险发表下列猜想：“大于5的任何自然数，都可以写成三个素数的和。”不久，欧拉回信说，他认为：“每一个不小于4的偶数，都可以写成两个素数的和。”

这就是著名的哥德巴赫猜想。

200年过去了，没有人能够证明这个猜想。

目前世界范围内的最佳结果是由我国著名数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理。

这道著名的数学难题引起了世界上成千上万的数学家的关注。这就是一个好问题的巨大价值，这就是一个好的猜想的历史意义。

1900年8月，不满40岁的数学大师希尔伯特，纵论全局、指点未来，发表了“数学问题”的经典演说，提出了著名的23个数学问题，并留下了一段关于问题（猜想）对数学发展的名言：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。数学研究也需要自己的问题。”

猜想既引导着研究的目标，又表明了社会发展的认知需要。数学史上充满着猜想，可以说：数学是伴随着对数学命题的猜想而发展的。

从某种意义上说，一部数学史就是猜想与验证猜想的历史。这里面，既有伟大的猜想、也有微不足道的猜想；有最终被证明了的猜想、也有最后被否定了的猜想；有很快被解决了的猜想、更有至今还“悬着”的猜想。有许多数学家是猜想家，他们既有非凡的直觉能力，为后世留下一个个饶有趣味的诱人的猜想。特别地，重大猜想的解决过程，往往也带来了数学发展的巨大推动力。

猜想使人的认识摆脱了消极等待的被动状态；猜想在人的认识发展过程中，功不可没、作用巨大。难怪科学家们总是感慨地惊叹：“人类每一次大的成功，都是开始于大胆的猜想。”

猜想的过程即为观察与实验、归纳、类比与联想、直觉与猜想的合情推理的过程，合情推理的实质就是“发现”，即发现新的关系、新的规律和新的方法等。在数学学习活动中，合情推理除了具有发现新的命题的重要作用外，还是探索解题思路，概括、解释新的数学事实和规律，扩展认知领域，促进知识的掌握和迁移，启迪思维和发展数学能力的重要方法和手段。

如果说通过演绎推理可以培养学生的运算能力、空间想象能力和严谨的治学态度，那么通过合情推理则可以培养学生的创新思维能力、创造想象能力、创新实践能力。因此可以说，合情推理是发展和培养学生创新能力的基础和必要条件，是21世纪新型人才应当具有的素质。

二、《推理与证明》的教育价值的实践与探索

著名的美国数学家、数学教育家波利亚提出：“对于学习数学的学生和从事数学工作的教师来说，猜想是一个重要的（但却通常被忽视的）方面，因为：在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容；在你完全做出详细的证明之前，你先得猜测证明的思路；你既要把观察到的结果进行综合，然后加以类比；又要一次一次地进行尝试……我们通常得到的那个证明（或解答），就是这样通过合情推理、通过猜想发现的。”

特别地，是否具有创造性已是衡量人才的重要标准、更是素质教育对能力培养提出的要求，而创造力的培养则有赖于教学中论证推理与合情推理同时并重的思维方法训练。

在第八届国际数学教育大会上，对于20世纪杰出的数学家、数学教育家波利亚建立的合情推理模式以及观察、实验、类比、归纳、化归、猜想等方法在数学发现和创新中所起的作用给予了高度的评价，在全世界范围内形成了广泛的共识。在布鲁塞尔的“发现学习”和上海教科院所推出的“研究性学习”中都对合情推理教学给予了高度的评价。合情推理教学符合我国素质教育的要求。

下面我们来看一个归纳、类比推理的代数实例：

我们用表示前个自然数的和，表示前n个自然数的平方和，以此类推：

我们先求平方和，并尝试用下面的方法：

左右两边分别相加，得

我们没能得到，但却求得了：

这个尝试给了我们一个启示，从过程和方法上归纳、类比得到了，那么能否类比地：在考察的过程中把求出来。下面，就让我们沿着这个猜测去做一做、试试看吧……

左右两边分别相加，得到：

由此可知：

至此我们更确信，能通过类比联想的办法把前个自然数的立方和求出来。

叠加可得：

故有：

从求和的过程及求和的结果，我们可以看到：

是关于的二次式，

是关于的三次式，

是关于的四次式，

那么我们可否在求之前就猜测是关于的五次式呢？

事实上,平面几何中的很多性质都可以类比推广到立体几何中去，例如：平面几何中的三角形类比到立体几何中对应的几何体是四面体（或称三棱锥）等等。下面让我们再来看一个归纳、类比推理的几何实例。

我们知道：一条直线将平面分为两部分；

两条直线（只要它们不平行）将平面分成四部分；

三条直线一般能将平面分成8部分吗？

这个猜想对吗？

若三直线彼此平行，则它们只能将平面分为4部分；

若三直线中只有两条平行，则它们把平面分为6部分；

若三直线交于一点，则它们也是把平面分为6部分；

一般的情形则是三条直线中既无彼此平行的，又不是三线共交点的。这样，这样我们就需在：三条直线将相交于三个点，并围成以这三点为顶点的一个三角形的条件下进行讨论。

从下图即可看出，三直线将平面分为7个部分：A、B、C、D、E、F、G。

可见，“三条直线能将平面分成8部分”的猜想是不成立的。

类比平面到空间，我们可以提出：

一个平面将空间分成2部分；

两个平面将空间分为4部分（只要两平面不平行）；

三个平面能将空间分为8部分（就像空间解析几何中的三个坐标平面将空间分为8个象限一样）；

四个平面能将空间分为16个部分吗？

联想到直线分平面的情况，我们可能不会再作此猜想了。

然而可否类比地猜测四平面在一般情形下能将空间分为15个部分吗？这种由类比引出的猜想是否正确呢？

我们再来分析一下三直线分割平面的情形：彼此互不平行且不共点的三直线将平面分为7部分的状况是怎样的呢？其中有一部分是有限的，其余6部分都是无限延伸的，有限的部分就是三直线围成的那个三角形A；无限的部分又可划为两种：一种是与三角形有一公共边的（即B、C、D）；另一种则是与三角形有一公共顶点的（即E、F、G）。

下面我们再来分析四个平面分割空间的情形：对于四平面中有彼此平行的平面以及四平面中有三平面共线或四平面共线的特殊情形不予考虑，而只考虑一般情形，即四平面能围成一个四面体的情形：四面体的内部是一个有限的部分；其余分割的部分都是无限的，无限部分又可划分为三类：第一类是与四面体有一公共面的，共4部分；第二类是与四面体与有一公共线的，共6部分；第三类是与四面体有一公共点的，共4部分，因此总计为1+4+6+4=15.

上面我们提到，三条两两不平行且不共点的直线将平面分为7个部分，四条直线呢？当然，对这四条直线也要两两不平行且每三条直线都不共点，这样，新加的第四条直线便与原有的三条直线相交，且必通过原有的四个部分并使这四个部分均一分为二，故共增加4个部分，于是得知：四直线将平面分为11部分。

按照类似的要求（“两两不平行，三三不共点”），加进第五条直线，那么平面被分割的部分也增加5部分，我们将归纳得到的数据列表如下：

直线数
1
2
3
4

平面被分割部分数
1+1
1+2+1
1+2+3+1
1+2+3+4+1

由此我们可以猜测： “两两不平行，三三不共点”的n条直线可将平面分割为：

个部分

国际数学课程改革的研究表明：在处理中小学数学思想方法方面有两个基本思路:

第一,主要通过纯数学知识的学习,逐步使学生掌握数学的思想和方法；

第二,通过解决实际问题,使学生形成那些对人的素质有促进作用的基本思想方法,如实验、猜测、合情推理等。

两者相比而言, 后者更多的是一般的思考方法, 具有更广泛的应用性。主要的发达国家也倾向于采用第二个基本思路。

有研究表明：合情推理与演绎推理有着较高的相关性；学生的合情推理的发展与演绎推理的发展也有着密切的联系．因此，数学教学要促使学生的合情推理与演绎推理同步发展．

如果说通过演绎推理可以培养学生的运算能力、空间想象能力和严谨的治学态度，那么通过合情推理则可以培养学生的创新思维能力、创造想象能力、创新实践能力。因此可以说，合情推理是发展和培养学生创新能力的基础和必要条件，是21世纪新型人才应当具有的素质。

而合情推理的实质就是“发现”，即发现新的关系、新的规律和新的方法，在数学学习活动中，合情推理除了具有发现新的命题的重要作用外，还是探索解题思路，概括、解释新的数学事实和规律，扩展认知领域，促进知识的掌握和迁移，启迪思维和发展数学能力的重要方法和手段。

作为数学教育工作者，让我们畅想一下：

当学生感受到“高不可攀”的哥德巴赫猜想是那样“浅显易懂”时；当学生能够类比三角形的面积公式联想到三棱锥的体积公式，又经过思维实验、数据检测、调整证明得到时；特别是当学生能够类比哥德巴赫猜想而提出“自己的素数猜想”，类比自然数的求和公式而得到自然数的平方和公式，又由此猜想得到自然数的立方和公式时，学生的猜想、证明的方法、学生内心的感动、学生的收获与分享都着实地让我们感受到了数学的伟大，更感受到了数学教育的价值与意义！ 参考技术A 就是有一个猜想想得到有知名度的机关的证实 数学猜想要经过严密的数学推理才能得到证实 根据自己的经验猜想，然后推理证实 参考技术B 数学猜想要经过严密的数学推理才能得到证实 参考技术C 根据自己的经验猜想，然后推理证实