最大流-最小割 MAXFLOW-MINCUT ISAP

Posted 2020-08-21 Stupidboy is here！

　　简单的叙述就不必了。

　　对于一个图，我们要找最大流，对于基于增广路径的算法，首先必须要建立反向边。

 

　　反向边的正确性：

　　　　我努力查找了许多资料，都没有找到理论上关于反向边正确性的证明。

　　　　但事实上，我们不难理解，对于每条反向边，我们流过它相当于撤销了一条正向边的流量。

　　　　并且它是必须的：

　　　　

　　　　而且从理论上，我们在加入反向边之后得到的最大流，我们从残余网络考虑。

　　　　我们要认识到，反向边不会使最大流流量减少，这是很显然的。有flow<=flow‘。

　　　　接下来我们考虑所有点的流量是否可以只用正向边得到。

　　　　并且我们考察汇点，由于汇点没有出边，所有的反向边都是从它离开的，那么显然不会对汇点造成影响。

　　　　对于其他点，我们考虑一条反向边的容量取决于正向边的流量，及总有flow_positive=capacity_negative，

　　　　或者换一个说法，flow_positive=-flow_negative。

　　　　也就是说，如果从这个点出去的流是通过u->v这条反向边出去的，这个流流向k，那么必然有相同流量的流从v->u，

　　　　那么不如直接从v->k好了。（如果这个u->v->k包含其他反向边，那么就递归下去讨论，但问题规模减少。）

　　　　这样就意识流的证明完了。

 

　　最大流最小割定理：

　　　　有一种普遍的证法，首先任意可行流的流量不可能大于任意一种割。即有最小割>=任意可行流。

　　　　并且由于最大流算法，最大流的得出来的残余网络源点、汇点必然不连通，否则最大流可以更大（沿着联通的路径流过去可以更大）。

　　　　这个时候最大流算法得到了其中一个割。

　　　　即有最大流>=最小割。

　　　　所以有最大流=最小割。

 

　　要找到最大流，我们有一个非常直观的想法，不断的在残余网络中找S-T的路径，如果找到就流过去，流量自然而然的+1，这些便流量减少。

　　这就是简易的Fold-Fulkerson算法，它是正确的。

 

 

　　Fold-Fulkerson FF算法正确性证明：

　　　　首先FF算法能够得到一个割，上面我们证明了割的容量总大于任意的流量，那么FF得到的流显然就是最大流了。

 

　　在FF算法上，根据最短路的性质，可以证明每次根据残余网络的最短路径的可行路径流过去可以达到O（V^2E）的算法复杂度

——EK算法

　　EK算法可以说是第一个SAP（Shortest Augment Path 最短增广路径）算法，在这之后的dinic只是一种扩展。

　　事实上，在学习了之后，可以发现dinic和ISAP实际上十分相似。

　　理论上ISAP是加了更多优化的。

　　在利用预标号的技术后，ISAP应该是不会劣于Dinic的。但事实上poi的kos和NOI的海拔都使ISAP跪掉了（听说？）

　　不过我觉得很有可能是写搓了。

 

　　特别要注意，在分层图上，预标号是必需的。

　　比如bzoj1001的狼抓兔子（本人ISAP跑了1200ms）中，如果不加预标号，一定是跑不过的。

　　但加了之后，比dinic快2/3，并且比一些转了最短路的算法都要快一点。

 

 

Reference:

1. https://tadvent.wordpress.com/2009/04/07/usaco-4-2-1-ditch-%E7%BD%91%E7%BB%9C%E6%9C%80%E5%A4%A7%E6%B5%81%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%AE%97%E6%B3%95%E5%B0%8F%E7%BB%93/
2. http://www.cs.yale.edu/homes/aspnes/pinewiki/MaxFlow.html
3. https://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_flow_problem
4. http://blog.csdn.net/qq_21110267/article/details/43540483