组合数学及其应用——递推关系和生成函数

Posted 2020-08-21 黑大帅之家

  将计数结果或者某个特殊数列的信息，呈现在一个函数关系式中，我们称之为生成函数，如这个名字，我们本质上讨论的是一个函数解析式，但是这个解析式以一个无穷级数的形式蕴藏着某个计数数列。

                           

 

  目前来看对于给出的这个“生成函数”的新定义，我们似乎看不到有什么很好的用处，但是随着问题的深入，它的作用便会呈现出来，例如在求解Catalan数的非齐次递推关系的时候就用到了生成函数的概念。

 

  例子1：

   

  在一些问题中，我们借助生成函数的概念，通过其他的运算定理，将一个∑形式的生成函数转化成其他的形式然后进行函数层次上的操作，能够使得我们处理问题站在一个新的视角。

 

  例子2：

   

 

  例子3：

  什么样的数列的生成函数是如下式子？

   

 

  例子4：确定苹果、香蕉、橘子和梨的n组合个数，其中每个n组合苹果的个数是偶数，香蕉的个数是奇数，橘子的个数是0到4之间，而且至少有一个梨.

   

  例子5：

  求装有苹果、香蕉、橘子和梨的果篮的可能数h(n),其中每个果篮中苹果数是偶数，香蕉数是5的倍数，橘子树最多有4个，而梨的个数是0或1.

   

 

                             

   这种形式虽然给出了线性递推关系，但是各项系数不全为常数，下面我们引入一种求解线性常系数递推关系的通解求法。

  

 

  这一定理的作用在于：能够将需要O(n)时间复杂度求解的的数列，在O(logn)得到。

 

  Ex2：

  一串由a、b、c组成的通信文字的长度为n，要求通信文字中不能够有连续两个a出现，那么请问共有多少种情况？

 

 

  呼应其一开始我们给出的结论：求解递推关系为了更快的计算序列中的某项h[n]，对比1、2两个例题我们发现，如果就编程计算而言，Ex1用这种方法是很好的，因为最终的形式比较的简单不含根号。而Ex2的形式如果交给计算机计算，就显得有些丑陋。例如斐波那契数列，利用该定理求得的解也带有根号，此时为了简化求得数列中某一项的时间复杂度，我们就要去寻求其他的方法(例如矩阵快速幂)。